1055: 兔子繁殖问题
题目描述
这是一个有趣的古典数学问题,著名意大利数学家Fibonacci曾提出一个问题:有一对小兔子,从出生后第3个月起每个月都生一对兔子。小兔子长到第3个月后每个月又生一对兔子。按此规律,假设没有兔子死亡,第一个月有一对刚出生的小兔子,问第n个月有多少对兔子?
输入
输入月数n(1<=n<=44)。
输出
输出第n个月有多少对兔子。
样例输入 Copy
3
样例输出 Copy
2
提示
本题是一个经典的递推入门题目: 用f(n)表示第n个月的兔子数目,则: f(n) = f(n-1) + 本月新生兔子数 而,本月新生兔子数 = f(n-2) (因为上上个月已存在的每只兔子,本月都会新生一只兔子) 所以,f(n) = f(n-1) + f(n-2) 这就是著名的Fibonacci数列,后一项等于前两项的和: 1 1 2 3 5 8…
解题方法
由题意知:本题符合Fibonacci数列,求第n个月有多少对兔子即求F(n)的值。
方法一:循环求解
方法二:递归求解
递归方程:
F(1) = 1
F(2) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)
方法三:动态规划
方法一:循环求解
unsigned Odd_1 = 1; //奇数月,这里辅助标记指向(表示)第一个月有一对兔子unsigned Even_2 = 1; //偶数月,这里辅助标记指向(表示)第二个月有一对兔子if (ItemNumber == 1)cout << Odd_1;else if (ItemNumber == 2)cout << Even_2;else{for (int i = 3; i <= ItemNumber; i += 2){Odd_1 += Even_2;Even_2 += Odd_1;}if (ItemNumber % 2 == 1)cout << Odd_1;elsecout << Even_2;}
方法二:递归求解1
unsigned FibonacciRecu(unsigned n)
{if (n == 1 || n == 2)return 1;elsereturn FibonacciRecu(n - 1) + FibonacciRecu(n - 2);
}
方法三:动态规划
FibonacciValue[0] = 0; //因数组下标是从0开始的,所以为了将下标与月相对应,根据题意将FibonacciValue[0]存入0FibonacciValue[1] = 1; //第一个月有一对兔子for (int i = 2; i <= ItemNumber; i++)FibonacciValue[i] = FibonacciValue[i - 1] + FibonacciValue[i - 2];cout << FibonacciValue[ItemNumber];
程序代码如下(使用C++)
#include<iostream>
#include<vector>using namespace std;int main()
{unsigned ItemNumber;cin >> ItemNumber;unsigned Odd_1 = 1; //奇数月,这里辅助标记指向(表示)第一个月有一对兔子unsigned Even_2 = 1; //偶数月,这里辅助标记指向(表示)第二个月有一对兔子if (ItemNumber == 1)cout << Odd_1;else if (ItemNumber == 2)cout << Even_2;else{for (int i = 3; i <= ItemNumber; i += 2){Odd_1 += Even_2;Even_2 += Odd_1;}if (ItemNumber % 2 == 1)cout << Odd_1;elsecout << Even_2;}/*vector<unsigned> FibonacciValue;FibonacciValue.push_back(0); //FibonacciValue[0] = 0;FibonacciValue.push_back(1); //FibonacciValue[1] = 1;for (unsigned i = 2; i <= ItemNumber; i++)FibonacciValue.push_back(FibonacciValue[i - 1] + FibonacciValue[i - 2]); //FibonacciValue[i] = FibonacciValue[i - 1] + FibonacciValue[i - 2];cout << FibonacciValue[ItemNumber];*/return 0;
}
程序运行结果如下
本题使用递归求解会因时间超限而出错 ↩︎
1055: 兔子繁殖问题
题目描述
这是一个有趣的古典数学问题,著名意大利数学家Fibonacci曾提出一个问题:有一对小兔子,从出生后第3个月起每个月都生一对兔子。小兔子长到第3个月后每个月又生一对兔子。按此规律,假设没有兔子死亡,第一个月有一对刚出生的小兔子,问第n个月有多少对兔子?
输入
输入月数n(1<=n<=44)。
输出
输出第n个月有多少对兔子。
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3
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2
提示
本题是一个经典的递推入门题目: 用f(n)表示第n个月的兔子数目,则: f(n) = f(n-1) + 本月新生兔子数 而,本月新生兔子数 = f(n-2) (因为上上个月已存在的每只兔子,本月都会新生一只兔子) 所以,f(n) = f(n-1) + f(n-2) 这就是著名的Fibonacci数列,后一项等于前两项的和: 1 1 2 3 5 8…
解题方法
由题意知:本题符合Fibonacci数列,求第n个月有多少对兔子即求F(n)的值。
方法一:循环求解
方法二:递归求解
递归方程:
F(1) = 1
F(2) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)
方法三:动态规划
方法一:循环求解
unsigned Odd_1 = 1; //奇数月,这里辅助标记指向(表示)第一个月有一对兔子unsigned Even_2 = 1; //偶数月,这里辅助标记指向(表示)第二个月有一对兔子if (ItemNumber == 1)cout << Odd_1;else if (ItemNumber == 2)cout << Even_2;else{for (int i = 3; i <= ItemNumber; i += 2){Odd_1 += Even_2;Even_2 += Odd_1;}if (ItemNumber % 2 == 1)cout << Odd_1;elsecout << Even_2;}
方法二:递归求解1
unsigned FibonacciRecu(unsigned n)
{if (n == 1 || n == 2)return 1;elsereturn FibonacciRecu(n - 1) + FibonacciRecu(n - 2);
}
方法三:动态规划
FibonacciValue[0] = 0; //因数组下标是从0开始的,所以为了将下标与月相对应,根据题意将FibonacciValue[0]存入0FibonacciValue[1] = 1; //第一个月有一对兔子for (int i = 2; i <= ItemNumber; i++)FibonacciValue[i] = FibonacciValue[i - 1] + FibonacciValue[i - 2];cout << FibonacciValue[ItemNumber];
程序代码如下(使用C++)
#include<iostream>
#include<vector>using namespace std;int main()
{unsigned ItemNumber;cin >> ItemNumber;unsigned Odd_1 = 1; //奇数月,这里辅助标记指向(表示)第一个月有一对兔子unsigned Even_2 = 1; //偶数月,这里辅助标记指向(表示)第二个月有一对兔子if (ItemNumber == 1)cout << Odd_1;else if (ItemNumber == 2)cout << Even_2;else{for (int i = 3; i <= ItemNumber; i += 2){Odd_1 += Even_2;Even_2 += Odd_1;}if (ItemNumber % 2 == 1)cout << Odd_1;elsecout << Even_2;}/*vector<unsigned> FibonacciValue;FibonacciValue.push_back(0); //FibonacciValue[0] = 0;FibonacciValue.push_back(1); //FibonacciValue[1] = 1;for (unsigned i = 2; i <= ItemNumber; i++)FibonacciValue.push_back(FibonacciValue[i - 1] + FibonacciValue[i - 2]); //FibonacciValue[i] = FibonacciValue[i - 1] + FibonacciValue[i - 2];cout << FibonacciValue[ItemNumber];*/return 0;
}
程序运行结果如下
本题使用递归求解会因时间超限而出错 ↩︎