2023年12月14日发(作者：白寒梦)

一、极地卫星和近地卫星

1．极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。

2．近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行的线速度约为7.9 km/s。

二、同步卫星

同步卫星是指相对地球“静止不动”的卫星。

同步卫星的六个“一定”：

轨道平面一定

高度一定

环绕速度一定

角速度一定

周期一定

向心加速度一定

轨道平面与赤道平面重合

距离地心的距离一定，h=4.225×104 km；距离地面的高度为3.6×104 km

v=3.08 km/s，环绕方向与地球自转方向相同

7.3105rad/s

与地球自转周期相同，常取T=24 h

a=0.23 m/s2

三、赤道上的物体与同步卫星以及近地卫星的运动规律

1．地球赤道上的物体，静止在地面上与地球相对静止，随地球的自转绕地轴做匀速圆周运动。地球赤道上的物体受到的地球的万有引力，其中的一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，产生向心加速度a，另一个分力为重力，有GMm－mg=ma（其中R为地球半径）。

R22．近地卫星的轨道高度约等于地球的半径，其所受万有引力完全提供卫星做圆周运动的向心力，即GMm=ma。

R23．同步卫星与赤道上的物体具有与地球自转相同的运转周期和运转角速度，始终与地球保持相对静止状态，共同绕地轴做匀速圆周运动。

4．区别：

（1）同步卫星与地球赤道上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近地卫星的周期。

（2近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球的半径，而不等于同步卫星运动的半径。

（3）三者的线速度各不相同。

四、求解此类试题的关键

1．在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的向心加速度的比例关系时应依据二者角速度相同的特点，运用公式a=ω2r而不能运用公式a=GM。

2r2．在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的线速度的比例关系时，仍要依据二者角速度相同的特点，运1

用公式v=ωr而不能运用公式v=GM。

r3．在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时，因都是由万有引力提供的向心力，故要运用公式v=GM，而不能运用公式v=ωr或v=gr。

r【典例1】有a、b、c、d四颗地球卫星，a在地球赤道上未发射，b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有

A．a的向心加速度等于重力加速度g

B．c在4 h内转过的圆心角是π/6

C．b在相同时间内转过的弧长最长

D．d的运动周期有可能是20 h

【答案】C

【解析】对于卫星a，根据万有引力定律、牛顿第二定律可得GMmGMm，而-Nmamg，故向r2r2a的向心加速度小于重力加速度g，A项错；由c是地球同步卫星可知卫星c在4 h内转过的圆心角是π，3GMmv2GMmB项错；由得，，故轨道半径越大，线速度越小，故卫星b的线速度大于卫星cv2rrr的线速度，卫星c的线速度大于卫星d的线速度，而卫星a与同步卫星c的周期相同，故卫星c的线速度大Mm2πr3于卫星a的线速度，C项对；由G2m()r得，T2π，轨道半径r越大，周期越长，故卫rTGM星d的周期大于同步卫星c的周期，D项错。

【学科网考点定位】万有引力定律的应用，同步卫星。

【典例2】图中的甲是地球赤道上的一个物体，乙是“神舟十号”宇宙飞船（周期约90 min），丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道示意图如图所示，它们都绕地心做匀速圆周运动。下列说法正确的是

A．它们运行的向心加速度大小关系是a乙>a丙>a甲

B．它们运行的线速度大小关系是v乙

2

C．已知甲运行的周期T甲=24 h，可计算出地球的密度=3π

GT24π2r乙3D．已知乙运行的周期T乙及轨道半径r乙，可计算出地球的质量M

2GT乙【答案】AD

MGMMmv2【解析】乙和丙都是人造卫星，由G2manm可得anG2，v，所以a乙>a丙，rrrrv乙>v丙，B错；又因为甲和丙的角速度相同，由an=ω2r可得，a丙>a甲，故a乙>a丙>a甲，A对；甲是赤道上3πMm4π2的一个物体，不是近地卫星，故不能由=计算地球的密度，C错；由G2mr乙可得，地GT甲2r乙T乙24π2r乙2球的质量M，D对。

2GT乙【学科网考点定位】万有引力定律的应用，同步卫星

【跟踪练习1】（2012·北京卷）关于环绕地球运行的卫星的运动，下列说法正确的是

A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期

B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率

C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同

D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合

【答案】B

【解析】分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有相同的周期，故A错误；沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道对称的不同位置具有相同的速率，故B正确；根据万有引力提供向心力，列出等式：Mm4π2Gm2(Rh)，其中R为地球半径，h为同步卫星离地面的高度。由于同步卫星的周期必须2(Rh)T与地球自转的周期相同，所以T为一定值，根据上面等式得出：同步卫星离地面的高度h也为一定值。故C错误；沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面不一定重合，但圆心都在地心，故D错误。

【学科网考点定位】万有引力定律。

【跟踪练习2】（2013·海南卷）“北斗”卫星屏声息气定位系统由地球静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成。地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍，下列说法正确的是

A．静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍

B．静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍

C．静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的1/7

3

D．静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的1/7

【答案】A

Mmv22πmr2mr()2ma，整理可得运动周期【解析】由万有引力提供向心力可知G2mrrTGMGM4π2r3GM，线速度v，角速度。向心加速度，设地球的半径为R，由题Ta23rrrGM意可知，静止轨道卫星的运行半径为r17R（R为地球半径）中轨卫星的运行半径r24.4R，因此T1r137332，A正确。

3T2r24.4【学科网考点定位】万有引力定律和卫星问题

【跟踪练习3】2000年1月20日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似采取东经98°和北纬40°，已知地球半径为R，地球自转周期为T，地球表面重力加速度为g（视为常量）和光速c，试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题中所给已知量的符号表示）

R2gT23R2gT232()R2R()cos224π4π【答案】

c【解析】设m为卫星的质量，M为地球的质量，r为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地球转动的角速度，由万有引力定律得G21Mmm2r

2r

式中G为万有引力常量，因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等，有ω=22RgTMm)3 由G2mg，得GM=gR2，r(24πR12π

T设嘉峪关到同步卫星的距离为l，如图所示，图中O为地球球心，R为地球半径，α=40°。由余弦定理，得llr2R22Rrcos，所求时间为t=，由以上各式，得

c221R2gT22RgT2()3R2R()3cos224π4πt。

c【学科网考点定位】万有引力定律

4

五、双星系统

1．在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。

2．双星系统的条件：

（1）两颗星彼此相距较近；

（2）两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动；

（3）两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．双星系统的特点：

（1）两星的角速度、周期相等；

（2）两星的向心力大小相等；

（3）两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2=L，轨道半径与行星的质量成反比。

4．双星问题的处理方法：

双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即G（1）m1r1=m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比；

m1m222mrmr2，由此得出：

1122L4π2L32π（2）由于ω=，r1＋r2=L，所以两恒星的质量之和m1m2。

2GTT【典例3】（2013·山东卷）双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为

nn3n2n3A． B． C． D．T

TTT2kkkk【答案】B

【解析】双星间的万有引力提供向心力。设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r。对质量为m的恒星有GMm2π2＝m()·r，对质量为M的恒星有2LTMm4π24π2L3Mm2π222·L，即T，则当总质量为k（M＋m），间距G2＝M()·(Lr)，得G2G(Mm)LTLTn3为L′=nL时，TT，选项B正确。

k【学科网考点定位】万有引力定律的应用，双星问题。

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【跟踪练习】宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统。它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么，这双星系统中两颗恒星的质量关系是

A．这两颗恒星的质量必定相等

4π2(R1R2)3B．这两颗恒星的质量之和为

2GTC．这两颗恒星的质量之比为m1:m2=R2:R1

4π2R1(R1R2)3D．必有一颗恒星的质量为

GT2【答案】BCD

m1m24π24π2【解析】对于两星有共同的周期T，由牛顿第二定律得Gm12R1m22R2，所以两2(R1R2)TT4π2R2(R1R2)24π2R1(R1R2)2星的质量之比m1:m2=R2:R1，C正确；由上式可得m1，m2，D正22GTGT4π2(R1R2)3确，A错误；m1m2，B正确。

2GT【学科网考点定位】万有引力定律的应用，双星问题。

六、多星系统

【典例4】宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用。已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T1；另一种形式是有三颗星位于边长为a的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为T2，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动。试求两种形式下，星体运动的周期之比T1。

T21【答案】 

TT2663

42【解析】对于第一种形式：星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形的对角线的交点做匀速圆周运动，其轨道半径r12a

2由万有引力定律和向心力公式得

6

Gm2Gm24π2

222cos45mr12

2aaT1解得T12πa2a①

(42)Gm3a

3对于第二种形式：其轨道半径为r2由万有引力定律和向心力公式得

Gm2Gm24π2

222cos30mr22

r2aT2解得T22πaa②

3(13)Gm663

421由①②解得 

TT2【学科网考点定位】万有引力定律的应用，多星问题。

【跟踪练习1】由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的影响，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）若A星体的质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：

（1）A星体所受合力的大小FA；

（2）B星体所受合力的大小FB；

（3）C星体的轨道半径RC；

（4）三星体做圆周运动的周期T。

7Gm2Gm2【答案】（1）232（2）a2a

7a3a（4）π（3）

4Gm7 【解析】（1）由万有引力定律，A星受到B、C的引力的大小

GmAmC2Gm2FBAFCAa2a2

方向如图所示，则合力的大小为

cos 30°=23Gm2FA=2FBA·a2

（2）同上，B星受到的引力分别为

G2m2GmBmCGm2FAB＝a2，FCBa2a2

方向如图所示

沿x方向F+FGm2Bx=FAB·cos 60°CB=2a2

沿y方向FGm2By=FAB·sin 60°=3a2

可得FBFBx2F7Gm2By2a2

（3）通过对于B进行受力分析可知，由于F2Gm2ABa2，FGmBmCGm2CBa2a2

合力的方向经过BC的中垂线AD的中点，所以圆心O一定在BC的中垂线AD的中点处,所以R＝R (137CB＝2a)2(4a)2＝4a。

（4）由题可知C的受力大小与B的受力相同，对C星有

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Gm22πFCFB72m()2RC

aTa3整理得Tπ

Gm【学科网考点定位】万有引力定律的应用，多星问题。

【跟踪练习2】在天文观测中，因为观测视角的问题，有时会看到一种比较奇怪的“双星”系统：与其它天体相距很远的两颗恒星，在同一直线上往返运动，它们往返运动的中心相同，周期也一样。模型如图所示，恒星A在A1A2之间往返运动，恒星B在B1B2之间往返运动，且A1A2a，B1B2b，现观测得它们运动的周期为T，恒星A、B的质量分别为M、m，万有引力常量G，则

A．Mm4π2ab33GT22 B．Mmπab232GT2

2πab(a3b3)πC．Mm D．Mm

2GT22GT2【答案】B

【解析】将恒星A和恒星B看成双星系统，二者之间的距离为：Lab，则对恒星A：

222πGM2Tab2Mm222a4π2aabMm2πb，则： ，则：m，同理对恒星B：Gm222GT22T2ab22πab4bab，整理可以得到：，故选项B正确。

MmMπ22GT222GT23【学科网考点定位】万有引力定律的应用

【名师点睛】本题是双星问题，与卫星绕地球运动模型不同，两颗星都绕同一圆心做匀速圆周运动，关键抓住条件：相同的角速度和周期。

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2023年12月14日发(作者：白寒梦)

一、极地卫星和近地卫星

1．极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。

2．近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行的线速度约为7.9 km/s。

二、同步卫星

同步卫星是指相对地球“静止不动”的卫星。

同步卫星的六个“一定”：

轨道平面一定

高度一定

环绕速度一定

角速度一定

周期一定

向心加速度一定

轨道平面与赤道平面重合

距离地心的距离一定，h=4.225×104 km；距离地面的高度为3.6×104 km

v=3.08 km/s，环绕方向与地球自转方向相同

7.3105rad/s

与地球自转周期相同，常取T=24 h

a=0.23 m/s2

三、赤道上的物体与同步卫星以及近地卫星的运动规律

1．地球赤道上的物体，静止在地面上与地球相对静止，随地球的自转绕地轴做匀速圆周运动。地球赤道上的物体受到的地球的万有引力，其中的一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，产生向心加速度a，另一个分力为重力，有GMm－mg=ma（其中R为地球半径）。

R22．近地卫星的轨道高度约等于地球的半径，其所受万有引力完全提供卫星做圆周运动的向心力，即GMm=ma。

R23．同步卫星与赤道上的物体具有与地球自转相同的运转周期和运转角速度，始终与地球保持相对静止状态，共同绕地轴做匀速圆周运动。

4．区别：

（1）同步卫星与地球赤道上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近地卫星的周期。

（2近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球的半径，而不等于同步卫星运动的半径。

（3）三者的线速度各不相同。

四、求解此类试题的关键

1．在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的向心加速度的比例关系时应依据二者角速度相同的特点，运用公式a=ω2r而不能运用公式a=GM。

2r2．在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的线速度的比例关系时，仍要依据二者角速度相同的特点，运1

用公式v=ωr而不能运用公式v=GM。

r3．在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时，因都是由万有引力提供的向心力，故要运用公式v=GM，而不能运用公式v=ωr或v=gr。

r【典例1】有a、b、c、d四颗地球卫星，a在地球赤道上未发射，b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有

A．a的向心加速度等于重力加速度g

B．c在4 h内转过的圆心角是π/6

C．b在相同时间内转过的弧长最长

D．d的运动周期有可能是20 h

【答案】C

【解析】对于卫星a，根据万有引力定律、牛顿第二定律可得GMmGMm，而-Nmamg，故向r2r2a的向心加速度小于重力加速度g，A项错；由c是地球同步卫星可知卫星c在4 h内转过的圆心角是π，3GMmv2GMmB项错；由得，，故轨道半径越大，线速度越小，故卫星b的线速度大于卫星cv2rrr的线速度，卫星c的线速度大于卫星d的线速度，而卫星a与同步卫星c的周期相同，故卫星c的线速度大Mm2πr3于卫星a的线速度，C项对；由G2m()r得，T2π，轨道半径r越大，周期越长，故卫rTGM星d的周期大于同步卫星c的周期，D项错。

【学科网考点定位】万有引力定律的应用，同步卫星。

【典例2】图中的甲是地球赤道上的一个物体，乙是“神舟十号”宇宙飞船（周期约90 min），丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道示意图如图所示，它们都绕地心做匀速圆周运动。下列说法正确的是

A．它们运行的向心加速度大小关系是a乙>a丙>a甲

B．它们运行的线速度大小关系是v乙

2

C．已知甲运行的周期T甲=24 h，可计算出地球的密度=3π

GT24π2r乙3D．已知乙运行的周期T乙及轨道半径r乙，可计算出地球的质量M

2GT乙【答案】AD

MGMMmv2【解析】乙和丙都是人造卫星，由G2manm可得anG2，v，所以a乙>a丙，rrrrv乙>v丙，B错；又因为甲和丙的角速度相同，由an=ω2r可得，a丙>a甲，故a乙>a丙>a甲，A对；甲是赤道上3πMm4π2的一个物体，不是近地卫星，故不能由=计算地球的密度，C错；由G2mr乙可得，地GT甲2r乙T乙24π2r乙2球的质量M，D对。

2GT乙【学科网考点定位】万有引力定律的应用，同步卫星

【跟踪练习1】（2012·北京卷）关于环绕地球运行的卫星的运动，下列说法正确的是

A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期

B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率

C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同

D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合

【答案】B

【解析】分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有相同的周期，故A错误；沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道对称的不同位置具有相同的速率，故B正确；根据万有引力提供向心力，列出等式：Mm4π2Gm2(Rh)，其中R为地球半径，h为同步卫星离地面的高度。由于同步卫星的周期必须2(Rh)T与地球自转的周期相同，所以T为一定值，根据上面等式得出：同步卫星离地面的高度h也为一定值。故C错误；沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面不一定重合，但圆心都在地心，故D错误。

【学科网考点定位】万有引力定律。

【跟踪练习2】（2013·海南卷）“北斗”卫星屏声息气定位系统由地球静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成。地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍，下列说法正确的是

A．静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍

B．静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍

C．静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的1/7

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D．静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的1/7

【答案】A

Mmv22πmr2mr()2ma，整理可得运动周期【解析】由万有引力提供向心力可知G2mrrTGMGM4π2r3GM，线速度v，角速度。向心加速度，设地球的半径为R，由题Ta23rrrGM意可知，静止轨道卫星的运行半径为r17R（R为地球半径）中轨卫星的运行半径r24.4R，因此T1r137332，A正确。

3T2r24.4【学科网考点定位】万有引力定律和卫星问题

【跟踪练习3】2000年1月20日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似采取东经98°和北纬40°，已知地球半径为R，地球自转周期为T，地球表面重力加速度为g（视为常量）和光速c，试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题中所给已知量的符号表示）

R2gT23R2gT232()R2R()cos224π4π【答案】

c【解析】设m为卫星的质量，M为地球的质量，r为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地球转动的角速度，由万有引力定律得G21Mmm2r

2r

式中G为万有引力常量，因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等，有ω=22RgTMm)3 由G2mg，得GM=gR2，r(24πR12π

T设嘉峪关到同步卫星的距离为l，如图所示，图中O为地球球心，R为地球半径，α=40°。由余弦定理，得llr2R22Rrcos，所求时间为t=，由以上各式，得

c221R2gT22RgT2()3R2R()3cos224π4πt。

c【学科网考点定位】万有引力定律

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五、双星系统

1．在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。

2．双星系统的条件：

（1）两颗星彼此相距较近；

（2）两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动；

（3）两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．双星系统的特点：

（1）两星的角速度、周期相等；

（2）两星的向心力大小相等；

（3）两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2=L，轨道半径与行星的质量成反比。

4．双星问题的处理方法：

双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即G（1）m1r1=m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比；

m1m222mrmr2，由此得出：

1122L4π2L32π（2）由于ω=，r1＋r2=L，所以两恒星的质量之和m1m2。

2GTT【典例3】（2013·山东卷）双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为

nn3n2n3A． B． C． D．T

TTT2kkkk【答案】B

【解析】双星间的万有引力提供向心力。设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r。对质量为m的恒星有GMm2π2＝m()·r，对质量为M的恒星有2LTMm4π24π2L3Mm2π222·L，即T，则当总质量为k（M＋m），间距G2＝M()·(Lr)，得G2G(Mm)LTLTn3为L′=nL时，TT，选项B正确。

k【学科网考点定位】万有引力定律的应用，双星问题。

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【跟踪练习】宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统。它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么，这双星系统中两颗恒星的质量关系是

A．这两颗恒星的质量必定相等

4π2(R1R2)3B．这两颗恒星的质量之和为

2GTC．这两颗恒星的质量之比为m1:m2=R2:R1

4π2R1(R1R2)3D．必有一颗恒星的质量为

GT2【答案】BCD

m1m24π24π2【解析】对于两星有共同的周期T，由牛顿第二定律得Gm12R1m22R2，所以两2(R1R2)TT4π2R2(R1R2)24π2R1(R1R2)2星的质量之比m1:m2=R2:R1，C正确；由上式可得m1，m2，D正22GTGT4π2(R1R2)3确，A错误；m1m2，B正确。

2GT【学科网考点定位】万有引力定律的应用，双星问题。

六、多星系统

【典例4】宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用。已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T1；另一种形式是有三颗星位于边长为a的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为T2，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动。试求两种形式下，星体运动的周期之比T1。

T21【答案】 

TT2663

42【解析】对于第一种形式：星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形的对角线的交点做匀速圆周运动，其轨道半径r12a

2由万有引力定律和向心力公式得

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Gm2Gm24π2

222cos45mr12

2aaT1解得T12πa2a①

(42)Gm3a

3对于第二种形式：其轨道半径为r2由万有引力定律和向心力公式得

Gm2Gm24π2

222cos30mr22

r2aT2解得T22πaa②

3(13)Gm663

421由①②解得 

TT2【学科网考点定位】万有引力定律的应用，多星问题。

【跟踪练习1】由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的影响，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）若A星体的质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：

（1）A星体所受合力的大小FA；

（2）B星体所受合力的大小FB；

（3）C星体的轨道半径RC；

（4）三星体做圆周运动的周期T。

7Gm2Gm2【答案】（1）232（2）a2a

7a3a（4）π（3）

4Gm7 【解析】（1）由万有引力定律，A星受到B、C的引力的大小

GmAmC2Gm2FBAFCAa2a2

方向如图所示，则合力的大小为

cos 30°=23Gm2FA=2FBA·a2

（2）同上，B星受到的引力分别为

G2m2GmBmCGm2FAB＝a2，FCBa2a2

方向如图所示

沿x方向F+FGm2Bx=FAB·cos 60°CB=2a2

沿y方向FGm2By=FAB·sin 60°=3a2

可得FBFBx2F7Gm2By2a2

（3）通过对于B进行受力分析可知，由于F2Gm2ABa2，FGmBmCGm2CBa2a2

合力的方向经过BC的中垂线AD的中点，所以圆心O一定在BC的中垂线AD的中点处,所以R＝R (137CB＝2a)2(4a)2＝4a。

（4）由题可知C的受力大小与B的受力相同，对C星有

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Gm22πFCFB72m()2RC

aTa3整理得Tπ

Gm【学科网考点定位】万有引力定律的应用，多星问题。

【跟踪练习2】在天文观测中，因为观测视角的问题，有时会看到一种比较奇怪的“双星”系统：与其它天体相距很远的两颗恒星，在同一直线上往返运动，它们往返运动的中心相同，周期也一样。模型如图所示，恒星A在A1A2之间往返运动，恒星B在B1B2之间往返运动，且A1A2a，B1B2b，现观测得它们运动的周期为T，恒星A、B的质量分别为M、m，万有引力常量G，则

A．Mm4π2ab33GT22 B．Mmπab232GT2

2πab(a3b3)πC．Mm D．Mm

2GT22GT2【答案】B

【解析】将恒星A和恒星B看成双星系统，二者之间的距离为：Lab，则对恒星A：

222πGM2Tab2Mm222a4π2aabMm2πb，则： ，则：m，同理对恒星B：Gm222GT22T2ab22πab4bab，整理可以得到：，故选项B正确。

MmMπ22GT222GT23【学科网考点定位】万有引力定律的应用

【名师点睛】本题是双星问题，与卫星绕地球运动模型不同，两颗星都绕同一圆心做匀速圆周运动，关键抓住条件：相同的角速度和周期。

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