2024年2月23日发(作者：哈运恒)

七年级下册数学思维专项训练题（共10套）

思维训练题（一）

班级______________ 姓名_____________

一、选择题：

1．a为任意自然数，包括a在内的三个连续的自然数，可以表示为

（ ）

A．a－2，a－1，a B．a－3，a－2，a－1

C．a，a＋1，a＋2 D．不同于A、B、C的形式

二、计算题：（动动脑筋，可能会有简便的解题方法！）

1．87556____________________

2．24681012...2000200220042006____________

3．5678678578568567__________________

4．888888868884...8002246...888__________

512121250.50.625550.125______________

456．1234512345______________

123461_________________ 7．13131335．3

8．

9．

11111_______________

32004..._____________

2004

10．12111111113456789_____________

6122

三、应用与创新：

1．有一高楼，每上一层需要3分钟，每下一层需要1分30秒。小贤于下午6时15分开始从最底层不断地向上走，到了最顶层后便立即往下走，中途没有停留，他在7时36分返回最底层。这座高楼共有多少层？

2．回答下列各题：

（1）用1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的五位数？

（2）在15个连续自然数中最多有多少个质数？最少有多少个质数？

（3）以下是一个数列，第一项是1，第二项是4，以后每一项是前两项相乘的积。求第2004项被7除的余数。

项数 第1项 第2项 第3项 第4项 第5项 …… 第2004项

数字 1 4 4 16

64 …… ？

思维训练题（二）

班级______________ 姓名_____________

一、填空题：

1．已知4个矿泉水的空瓶可换矿泉水一瓶，现有15个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可换_____________瓶矿泉水喝。

2．有A、B、C、三种不同的树苗若干，现要将它们植在如图所示的四个正方形空地中，要求：相邻的两棵不能相同，而对角的两棵可以相同，问共有多少种不同的植法？___________

① ②

③ ④

3．乘火车从A站出发，沿途出发经过3个车站方可到达B站，那么在A、B两站之间共需要安排_________种不同的车票。

1的分子加上a，则它的分母上应加__________才能保证分数的值不变。

m二、计算题：

1．ab2a2b...8a8b

4．若分数

2．

3．

4．

1111

...224246246...1001111

...16611111651562346698121015

3661291812241530

三、应用与创新：

1．某办事处由A、B、C、D、E、F六人轮流值夜班，规定轮班次序是A→B→C→D→E→F→A→B……，在2005年的第一个星期里，元月1日恰是星期六，由A值班，问2005年9月1日是谁值日？

2．1898年6月9日英国强迫清政府签约将香港975.1平方公里土地租借给英国99年，1997年7月1日香港回归祖国，中国人民终于洗刷了百年耻辱，已知1997年7月1日是星期二，那么1898年6月9日是星期几？

（注： 公历纪年，凡年份是4的倍数但不是100的倍数的那年为闰年，年约为400的倍数的那么也为闰年，闰年的二月有29天，平年的二月有28天。）

3．一次考试有若干考生，顺序编号为1、2、3……，考试那天有一人缺考，剩下考生的编号和为2005，求考生人数以及缺考的学生的编号。

思维训练题（三）

班级_______________ 姓名_______________

一、填空题：

1．若b = a＋5，b = c＋10，则a、c的关系是________________。

2．如果一个自然数a与另一个自然数b的商恰好是其中一个数，那么b =

______________，或者满足条件____________________________。

3．若|a－1| = 1－a，那么a的取值条件是______________________。

4．若|a＋b| = |a|＋|b|，那么a、b应满足的条件是____________________。

5．a、b、c在数轴的位置如图所示，

则化简：|a|－|a＋b|＋|c－b|＋|a＋c|的结果

是________________。 a b 0 c

6．若|x－2|＋|y＋1| = 0，则x = ______________，y = ______________。

二、化简：

1．若x <－2，试化简：|x＋2|＋|x－1|

2．若x <－3，化简：|3＋|2－|1＋x|||

三、解方程：

1．|2x－1| = 3 2．|2x－5| = |x－1|

四、应用与创新：

1．仿照下面的运算

例：（x＋2）（y＋3）

= x·（y＋2）＋2（y＋3） （乘法对加法的分配律）

= x·y＋2x＋2y＋6 （乘法的分配律、交换律）

（1）（a＋21）（a－9）=

（2）（a＋b）2

=

（3）（a＋b＋c）2

=

2．圆周上有m个红点，n个蓝点，（m≠n），当中相邻两点皆红色的有a组，当中相邻两点为蓝色的有b组，试说明m＋b = n＋a这个等式是成立的。

3．在1、2、3、……、2005这2005个数的前面任意添加一个正号或负号，组成一个算式，能否使最后的结果为0，如能，写出其表达式；如不能，请说明理由。

思维训练题（四）

班级______________ 姓名_____________

一、判断：

＋①a

m·a

n = a

mn（m、n是正整数，a是有理数）（ ）

②（a·b）n = a n·b n（ ）

③（a

m）n = a

mn（ ）

④a

m÷a

n = a

m－n（其中m>n，a≠0）（ ）

acadbcadbc⑤（ ）

bdbdbdbdacadad⑥（ ）

bdbcbc⑦a＋b一定大于a－b（ ）

⑧任何数的平方都是正数（ ）

1⑨x的倒数是（ ）

x45⑩与互为负倒数（ ）

54二、计算：

37711111．11 2．252525

48127236

5133．（－0.2）6·5006－（－1.25）3·（8000）3 4．

135

5．（－0.125）15×（215）3

6．已知2a－b = 4，求2（b－2a）3 －（b－2a）2＋2（2a－b）＋1的值。

三、应用与创新：

1．将一个正整数分成若干个连续整数的和。

例：①15 = 3×5

15 = 4＋5＋6

或 15 = 1＋2＋3＋4＋5

②10 = 5×2

10 = 1＋2＋3＋4

③8 = 2×2×2（无奇因数）

8不能拆分成若干个连续整数之和

试将下列各整数进行拆分：

①2005 ②2008 ③64

19992000

2．1000以内既不能被5整除，也不能被7整除的自然数共有多少个？

3．试说明在数12008的两个0之间无论添多少个3，所得的数总可以被19整除。

思维训练题（五）

班级______________ 姓名_____________

一、判断：

1．52 = 5×2 ……………………………………………………………………

2．54 = 45

…………………………………………………………………………

3．（5ab）2

=10a2b2

………………………………………………………………

4．32x5y5 =（2xy）5

……………………………………………………………

5．（2＋3）2

= 22＋32

……………………………………………………………

6．（a＋b）（a－b）= a2－b2

……………………………………………………

7．（a＋b）2 = a2＋2ab＋b2

………………………………………………………

8．由3x = 2y可得xy32………………………………………………………

二、计算：

1．100·10n·10n－1 2．a2·a4·a6·…·a102

） ） ） ） ） ） ） ）（

（

（

（

（

（

（

（

3．（－32）

n＋111÷16×（－2） （n是奇数） 4．422nn4182n1

575．1811

m16n24n152n42n2n3n3

 6．2n8520

三、应用与创新：

1．去括号法则：去掉紧接在正号后面的括号时，括号里的各项都不变，去掉紧接负号后边的括号时，括号里的各项都要变号。即：a＋（b－c＋d）= a＋b－c＋d

a－（b－c＋d）= a－b＋c－d

添括号的法则：紧接正号后面添加括号时，括到括号里的各项都不变，紧接负号后面添加括号时，括到括号里的各项都要变号。即：a＋b－c＋d = a＋（b－c＋d）

a－b＋c－d = a－（b－c＋d）

（1）在下列各式的括号内，填上适当的项：

①a－b＋c－d = a＋（ ）

②a－b＋c－d = a－b＋（ ）

③a－b＋c－d = a－b－（ ）

④a－b＋c－d = a－（ ）

（2）去括号：

①－（－3）－（＋2）＋（－9）＋（＋4）=

②a＋（b－c）=

③a－（－b－c）=

④＋（－a＋b－c－d）=

⑤－（a－b－c＋d）=

2．π的前24位数值为3.979323846264：设a1，a2，…，a24为该24个数字的任一个排列，试说明：（a1－a2）（a3－a4）…（a21－a22）（a23－a24）必为偶数。

3．试说明：所有形如：10017，100117，1001117，10011117，…的整数都能被53整除。

思维训练题（六）

班级______________ 姓名_____________

一、填空题：

1．一个数的平方是256，则这个数是_____________。

2．若整数n不是5的倍数，则n4＋4被5除所得的余数是_______________。

3．若a和b互为倒数，则a·b= __________；若a和b互为相反数，则a＋b =

________。

4．已知a < b < 0，用适当的不等号连结下列各题中的两个式子：

ab_______

2211（3）|a| ________ |b| （4）_______

ab（5）a2 ________b2 （6）a ________－b

ba（7）ab ________b （8）_______

ab5．7－a的倒数的相反数是－3，则a = ____________。

（1）a－5 ________ b－5 （2）6．当x =－3时，多项式ax5＋bx3＋cx－81的值是20，则x = 3时，此多项式的值为______。

7．购买一件商品，打七折比打8折少花2元钱，则这件商品的原价是______________。

二、比较下列各组数的大小：

1．π与

2200112200213．2002与2003

2121

1115．122...2与2

239022

72．20042003与

200520044．22004－22003与2

6．1＋2＋22＋23＋…＋22004与22005

三、应用与创新：

1．小李下午6点多钟外出时手表上分针时针的夹角恰好是120°，下午7点前回家时，发现两针的夹角仍为120°，问小李外出了多长时间？

2．某商场对顾客实行优惠，规定：

①如一次购物不超过200元的，则不予折扣；

②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；

③如一次购物超过500元，其中500元仍按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠；

小王两次去购物，分别付款188元和423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款多少元？

思维训练题（七）

班级______________ 姓名_____________

一、选择题：

1．若|x－3| = 3－x，则x应满足

（ ）

A．x < 3 B．x > 3 C．x≤3 D．x≥3

2．若|a＋b| = |a|＋|b|，则x应满足

（ ）

A．a、b都是正数 B．a、b都是负数

C．a、b中有一个为零 D．以上三种都有可能

13．代数式2x＋3与x1互为相反数，则x的值为

2（ ）

4A．0 B．－3 C．＋1 D．

54．一个分数的分子分母都是正整数，且分子比分母小1，若分子和分母都减6去1，则所得分数为小于的正数，则满足上述条件的分数共有

7（ ）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个

5．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天较第二天增加了11%，那么第三天杯中的水量比第一天杯中的水量相比的结果是

（ ）

A．少了1% B．多了1% C．少了1‰ D．多了1‰

6．在下列式子中，单项式的个数有

（ ）

abx113ab，，x2y，a，a－b，0.05，πR2，

322xA．4个 B．5个 C．6个 D．7个

二、化简求值：

1．设f（x）= 3x2－2x＋4，试写出多项式f（y），f（m），f（x＋1），f1，并求f（2），yf13的值。

分析求f（y）就是将f（x）中的x变为y

即f（y）= 3y2－2y＋4

2．已知x =－2，求3x2－｛10x－[x2－（x－5）]｝的值。

15113．已知x，求多项式：x33x35x3的值。

1875623

4．已知A = 2x2＋3xy－2x－1，B =－x2＋xy－1，若2A＋4B的值与x的取值无关，试求y的值。

三、应用与创新：

1．用不等号“>”或“<”表示的关系式，叫做不等式，一般记作：A>B（或A

①如果A>B，那么B

②如果A>B，B>C，那么A>C；

③如果A>B，那么A±m>B±m；

④如果A>B且m>0，那么Am>Bm

⑤如果A>B且m<0，那么Am_________Bm（请思考）

1①已知：不等式：5aba7b，你能运用不等式的性质比较a、b的大小2吗？

1例解：∵5aba7b

2∴10a－2b>a＋7b（两边同乘以2，性质④）

∴9a－2b>7b（两边同减去a，性质③）

9a>9b（两边同加上2b，性质③）

1∴a>b（两边同乘以，性质④）

9

练一练：①已知：不等式2a＋3b>3a＋2b，试比较a、b的大小；

1②已知：5x15y，试比较x、y的大小；

5③试用不等式的基本性质，说明如果有理数a>b，其平均数足a>ab>b。

2ab满2

2．设实数a、b、c、d、e同时满足下列条件：

①a>b ②e－a = d－b ③c－d < b－a ④a＋b = c＋d

试将a、b、c、d、e从小到大排列起来。

思维训练题（八）

班级______________ 姓名_____________

一、填空题：

1．已知|a| = 4，|b| = 3，且a < b，则a＋b = ______________。

12．若－1< x <0，则，x，x2，x3的大小顺序是__________________________。

xaa3．如果1，则a为_____________，1，则a为_____________。

aa24．已知a < 0，－1< b <0，则a，ab，ab之间的大小关系是_______________。

5．由下列等式①|a－b| = |b－a|；②（a－b）2

=（b－a）2；③|x＋3| = x＋3；④12003（a－b）3

=（b－a）3；⑤45 = 54；⑥22_____________（填序号）。

20041，其中一定正确的有2

36．已知：x = 3是方程ax21的一个解，则a = _____________。

2117．已知：方程2x = 4与方程xm的解相同，则m = _____________。

328．当a__________，b_________，时，方程ax = b中x有无数值使方程成立。

当a__________，b_________，时，方程ax = b中x没有值使方程成立。

b当a__________，b_________，时，方程ax = b中有唯一解x。

a二、解下列方程：（1、2两题要求检验）

2x110x12x11．2345x181272 2．1

364

1.88x1.33x5x0.43．

1.220.3

4．关于x的方程（m＋1）x = n－x （m≠－2）

三、应用与创新：

1．计算多项式ax3＋bx2＋cx＋d的值有以下3种算法，分别统计3种算法中的乘法次数。

①直接计算：ax3＋bx2＋cx＋d中共有3＋2＋1 = 6（次）乘法

具体的为：a·x·x·x＋b·x·x＋c·x＋d

3次 2次 1次

②利用已有幂运算结果：x3 = x2·x，共2＋2＋1 = 5（次）乘法

具体的为：a·x2·x＋b·x·x＋c·x

利用

③逐项迭代：ax＋bx2＋cx＋d

= [（ax＋b）·x＋c]·x＋d，其中等式右端运算中含有3次乘法。

试一试：

（1）分别使用以上3种算法，统计算式a0x10＋a1x9＋a2x8＋…＋a9x＋a10中乘法的次数，并比较3种算法的优劣。

3

（2）对n次多项式a0xn＋a1xn－1＋a2xn－2＋…＋an－1x＋an＋（其中a0，a1，a2，…，an为系数，n > 1），分别使用3种算法统计其中乘法的次数，并比较3种算法的优劣。

2．某生活小区内有14条小路，要在小路上安装5盏路灯照亮每条小路，你能做到吗？

思维训练题（九）

班级______________ 姓名_____________

一、选择题：

1．已知：a是任意实数，在下面各题中，结论正确的个数是（ ）

（1）方程ax = 0的解是x = 0 （2）方程ax = a的解是x = 1

x11（3）方程ax = 1的解是x = （4）方程的解是x = 1

aaaA．0个 B．1个 C．2个 D．3个

22．关于x的方程x3k5xk1的解是负数，则k的值为（ ）

3111A．k B．k C．k D．以上解答都222不对

3．一种商品每件进价a元，按进价增加25%定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利（ ）

A．0.125a B．0.15a C．0.25a D．1.25a

4．方程x（x－3）= 0的解是（ ）

A．0或3 B．0 C．3 D．无解

5．关于x的方程mx＋p = nx＋q无解，则m、n、p、q应满足（ ）

A．m≠n B．m≠n且p≠q C．m=n且p≠q D．m≠n且p=q

6．关于x的方程ax＋b = bx＋a（a≠b）的解为（ ）

A．0 B．－1 C．1 D．一切有理数

二、解下列方程：

11111．x1641 2．20%x120%320x32040%

2345

xxxx3．（ax－b）（a＋b）= 0

...2004 4．12233420042005

3xa15xa5．已知：关于x的方程3x2x4与1有相同的解，1283求a的值。

三、应用与创新：

1．有两个班的同学要到实习农场去参加劳动，但只有一辆车接送，甲班学生坐车从学校出发的同时，乙班学生开始步行，车到途中某处，让甲班学生下车步行，车立刻返回接乙班学生上车并直接开往农场，学生步行速度为每小时4千米，载学生时车速为每小时40千米，空车每小时50千米，问要使两班学生同时到达距离学校112千米的农场，甲班学生步行多少千米？

2．将一些15厘米×21厘米的小矩形模板拼成一个面积为6300厘米2的大矩形板（不许折断），共有多少种不同的拼法？

思维训练题（十）

班级______________ 姓名_____________

一、选择题：

1．a、b、c三个有理数在数轴上的位置如图所示，则（ ）

111A．

cacbab111B．

cababc111· · ·

C．

b a

c

bccaba111D．

abacbc2．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、d，且d－2a = 10，那么数轴的原点应是（ ）

a b c d

A．A点

· · · · · · · ·

B．B点

A B C D

C．C点

D．D点

3．下列各代数式的值一定是负数的（ ）

A．－|a＋2| B．－（a－3）2 C．－|a|－1 D．－（a＋3）2

＋1

4．如果abc≠0，则abcabcabcabc的值可能有（ ）

A．1种 B．2种

C．3种 D．4种

5．一个四次多项式与一个三次多项式之和是（ ）

A．四次多项式 B．四次单项式

C．四次式 D．七次多项式

2a3b4c56．已知：b = 4a＋3，c = 5a－1（a≠0），则代数式的值3a4b5c7为（ ）

A．与a的取值有关 B．二、解答下列各题：

175 C． D．其它结果

2272221．若3a2＋2b2－7 = 0，求代数式ab3的值。

3

2xxyy125，求代数式2．若8x3xy4y的值。

xy

3．代数式（2ax2＋3x＋2）－（5x2－3－6bx）的值与x无关，试求a、b的值。

24．已知|2a＋1|＋4|b－4| = －（c＋1），试求代数式9a2b2－｛ac2－[6a2b2＋（4a2c－3ac2）]－6a2c｝的值。

5．当x>5时，化简|15－3x|－|2x－11|。

三、应用与创新：

*y = ax＋by，其中a、b、都是常数且等1．对于任意实数x、y，定义运算x○*3 = 4，对于任意实数x，x○*m = x总是式右边是通常意义的加法和乘法，已知2○成立，求a、b、m的值。

2．某出租汽车停车站已停有6辆出租车，第一辆出租车出发后，每隔4分钟就有一辆汽车开出，在第一辆汽车开出2分钟后，有一辆出租车进站，以后每隔6分钟就有一辆出租车回站，回站的出租车在原有的出租车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆，问第一辆出租车出发后，经过最少多少时间，车站不能按时发车？

2024年2月23日发(作者：哈运恒)

七年级下册数学思维专项训练题（共10套）

思维训练题（一）

班级______________ 姓名_____________

一、选择题：

1．a为任意自然数，包括a在内的三个连续的自然数，可以表示为

（ ）

A．a－2，a－1，a B．a－3，a－2，a－1

C．a，a＋1，a＋2 D．不同于A、B、C的形式

二、计算题：（动动脑筋，可能会有简便的解题方法！）

1．87556____________________

2．24681012...2000200220042006____________

3．5678678578568567__________________

4．888888868884...8002246...888__________

512121250.50.625550.125______________

456．1234512345______________

123461_________________ 7．13131335．3

8．

9．

11111_______________

32004..._____________

2004

10．12111111113456789_____________

6122

三、应用与创新：

1．有一高楼，每上一层需要3分钟，每下一层需要1分30秒。小贤于下午6时15分开始从最底层不断地向上走，到了最顶层后便立即往下走，中途没有停留，他在7时36分返回最底层。这座高楼共有多少层？

2．回答下列各题：

（1）用1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的五位数？

（2）在15个连续自然数中最多有多少个质数？最少有多少个质数？

（3）以下是一个数列，第一项是1，第二项是4，以后每一项是前两项相乘的积。求第2004项被7除的余数。

项数 第1项 第2项 第3项 第4项 第5项 …… 第2004项

数字 1 4 4 16

64 …… ？

思维训练题（二）

班级______________ 姓名_____________

一、填空题：

1．已知4个矿泉水的空瓶可换矿泉水一瓶，现有15个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可换_____________瓶矿泉水喝。

2．有A、B、C、三种不同的树苗若干，现要将它们植在如图所示的四个正方形空地中，要求：相邻的两棵不能相同，而对角的两棵可以相同，问共有多少种不同的植法？___________

① ②

③ ④

3．乘火车从A站出发，沿途出发经过3个车站方可到达B站，那么在A、B两站之间共需要安排_________种不同的车票。

1的分子加上a，则它的分母上应加__________才能保证分数的值不变。

m二、计算题：

1．ab2a2b...8a8b

4．若分数

2．

3．

4．

1111

...224246246...1001111

...16611111651562346698121015

3661291812241530

三、应用与创新：

1．某办事处由A、B、C、D、E、F六人轮流值夜班，规定轮班次序是A→B→C→D→E→F→A→B……，在2005年的第一个星期里，元月1日恰是星期六，由A值班，问2005年9月1日是谁值日？

2．1898年6月9日英国强迫清政府签约将香港975.1平方公里土地租借给英国99年，1997年7月1日香港回归祖国，中国人民终于洗刷了百年耻辱，已知1997年7月1日是星期二，那么1898年6月9日是星期几？

（注： 公历纪年，凡年份是4的倍数但不是100的倍数的那年为闰年，年约为400的倍数的那么也为闰年，闰年的二月有29天，平年的二月有28天。）

3．一次考试有若干考生，顺序编号为1、2、3……，考试那天有一人缺考，剩下考生的编号和为2005，求考生人数以及缺考的学生的编号。

思维训练题（三）

班级_______________ 姓名_______________

一、填空题：

1．若b = a＋5，b = c＋10，则a、c的关系是________________。

2．如果一个自然数a与另一个自然数b的商恰好是其中一个数，那么b =

______________，或者满足条件____________________________。

3．若|a－1| = 1－a，那么a的取值条件是______________________。

4．若|a＋b| = |a|＋|b|，那么a、b应满足的条件是____________________。

5．a、b、c在数轴的位置如图所示，

则化简：|a|－|a＋b|＋|c－b|＋|a＋c|的结果

是________________。 a b 0 c

6．若|x－2|＋|y＋1| = 0，则x = ______________，y = ______________。

二、化简：

1．若x <－2，试化简：|x＋2|＋|x－1|

2．若x <－3，化简：|3＋|2－|1＋x|||

三、解方程：

1．|2x－1| = 3 2．|2x－5| = |x－1|

四、应用与创新：

1．仿照下面的运算

例：（x＋2）（y＋3）

= x·（y＋2）＋2（y＋3） （乘法对加法的分配律）

= x·y＋2x＋2y＋6 （乘法的分配律、交换律）

（1）（a＋21）（a－9）=

（2）（a＋b）2

=

（3）（a＋b＋c）2

=

2．圆周上有m个红点，n个蓝点，（m≠n），当中相邻两点皆红色的有a组，当中相邻两点为蓝色的有b组，试说明m＋b = n＋a这个等式是成立的。

3．在1、2、3、……、2005这2005个数的前面任意添加一个正号或负号，组成一个算式，能否使最后的结果为0，如能，写出其表达式；如不能，请说明理由。

思维训练题（四）

班级______________ 姓名_____________

一、判断：

＋①a

m·a

n = a

mn（m、n是正整数，a是有理数）（ ）

②（a·b）n = a n·b n（ ）

③（a

m）n = a

mn（ ）

④a

m÷a

n = a

m－n（其中m>n，a≠0）（ ）

acadbcadbc⑤（ ）

bdbdbdbdacadad⑥（ ）

bdbcbc⑦a＋b一定大于a－b（ ）

⑧任何数的平方都是正数（ ）

1⑨x的倒数是（ ）

x45⑩与互为负倒数（ ）

54二、计算：

37711111．11 2．252525

48127236

5133．（－0.2）6·5006－（－1.25）3·（8000）3 4．

135

5．（－0.125）15×（215）3

6．已知2a－b = 4，求2（b－2a）3 －（b－2a）2＋2（2a－b）＋1的值。

三、应用与创新：

1．将一个正整数分成若干个连续整数的和。

例：①15 = 3×5

15 = 4＋5＋6

或 15 = 1＋2＋3＋4＋5

②10 = 5×2

10 = 1＋2＋3＋4

③8 = 2×2×2（无奇因数）

8不能拆分成若干个连续整数之和

试将下列各整数进行拆分：

①2005 ②2008 ③64

19992000

2．1000以内既不能被5整除，也不能被7整除的自然数共有多少个？

3．试说明在数12008的两个0之间无论添多少个3，所得的数总可以被19整除。

思维训练题（五）

班级______________ 姓名_____________

一、判断：

1．52 = 5×2 ……………………………………………………………………

2．54 = 45

…………………………………………………………………………

3．（5ab）2

=10a2b2

………………………………………………………………

4．32x5y5 =（2xy）5

……………………………………………………………

5．（2＋3）2

= 22＋32

……………………………………………………………

6．（a＋b）（a－b）= a2－b2

……………………………………………………

7．（a＋b）2 = a2＋2ab＋b2

………………………………………………………

8．由3x = 2y可得xy32………………………………………………………

二、计算：

1．100·10n·10n－1 2．a2·a4·a6·…·a102

） ） ） ） ） ） ） ）（

（

（

（

（

（

（

（

3．（－32）

n＋111÷16×（－2） （n是奇数） 4．422nn4182n1

575．1811

m16n24n152n42n2n3n3

 6．2n8520

三、应用与创新：

1．去括号法则：去掉紧接在正号后面的括号时，括号里的各项都不变，去掉紧接负号后边的括号时，括号里的各项都要变号。即：a＋（b－c＋d）= a＋b－c＋d

a－（b－c＋d）= a－b＋c－d

添括号的法则：紧接正号后面添加括号时，括到括号里的各项都不变，紧接负号后面添加括号时，括到括号里的各项都要变号。即：a＋b－c＋d = a＋（b－c＋d）

a－b＋c－d = a－（b－c＋d）

（1）在下列各式的括号内，填上适当的项：

①a－b＋c－d = a＋（ ）

②a－b＋c－d = a－b＋（ ）

③a－b＋c－d = a－b－（ ）

④a－b＋c－d = a－（ ）

（2）去括号：

①－（－3）－（＋2）＋（－9）＋（＋4）=

②a＋（b－c）=

③a－（－b－c）=

④＋（－a＋b－c－d）=

⑤－（a－b－c＋d）=

2．π的前24位数值为3.979323846264：设a1，a2，…，a24为该24个数字的任一个排列，试说明：（a1－a2）（a3－a4）…（a21－a22）（a23－a24）必为偶数。

3．试说明：所有形如：10017，100117，1001117，10011117，…的整数都能被53整除。

思维训练题（六）

班级______________ 姓名_____________

一、填空题：

1．一个数的平方是256，则这个数是_____________。

2．若整数n不是5的倍数，则n4＋4被5除所得的余数是_______________。

3．若a和b互为倒数，则a·b= __________；若a和b互为相反数，则a＋b =

________。

4．已知a < b < 0，用适当的不等号连结下列各题中的两个式子：

ab_______

2211（3）|a| ________ |b| （4）_______

ab（5）a2 ________b2 （6）a ________－b

ba（7）ab ________b （8）_______

ab5．7－a的倒数的相反数是－3，则a = ____________。

（1）a－5 ________ b－5 （2）6．当x =－3时，多项式ax5＋bx3＋cx－81的值是20，则x = 3时，此多项式的值为______。

7．购买一件商品，打七折比打8折少花2元钱，则这件商品的原价是______________。

二、比较下列各组数的大小：

1．π与

2200112200213．2002与2003

2121

1115．122...2与2

239022

72．20042003与

200520044．22004－22003与2

6．1＋2＋22＋23＋…＋22004与22005

三、应用与创新：

1．小李下午6点多钟外出时手表上分针时针的夹角恰好是120°，下午7点前回家时，发现两针的夹角仍为120°，问小李外出了多长时间？

2．某商场对顾客实行优惠，规定：

①如一次购物不超过200元的，则不予折扣；

②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；

③如一次购物超过500元，其中500元仍按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠；

小王两次去购物，分别付款188元和423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款多少元？

思维训练题（七）

班级______________ 姓名_____________

一、选择题：

1．若|x－3| = 3－x，则x应满足

（ ）

A．x < 3 B．x > 3 C．x≤3 D．x≥3

2．若|a＋b| = |a|＋|b|，则x应满足

（ ）

A．a、b都是正数 B．a、b都是负数

C．a、b中有一个为零 D．以上三种都有可能

13．代数式2x＋3与x1互为相反数，则x的值为

2（ ）

4A．0 B．－3 C．＋1 D．

54．一个分数的分子分母都是正整数，且分子比分母小1，若分子和分母都减6去1，则所得分数为小于的正数，则满足上述条件的分数共有

7（ ）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个

5．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天较第二天增加了11%，那么第三天杯中的水量比第一天杯中的水量相比的结果是

（ ）

A．少了1% B．多了1% C．少了1‰ D．多了1‰

6．在下列式子中，单项式的个数有

（ ）

abx113ab，，x2y，a，a－b，0.05，πR2，

322xA．4个 B．5个 C．6个 D．7个

二、化简求值：

1．设f（x）= 3x2－2x＋4，试写出多项式f（y），f（m），f（x＋1），f1，并求f（2），yf13的值。

分析求f（y）就是将f（x）中的x变为y

即f（y）= 3y2－2y＋4

2．已知x =－2，求3x2－｛10x－[x2－（x－5）]｝的值。

15113．已知x，求多项式：x33x35x3的值。

1875623

4．已知A = 2x2＋3xy－2x－1，B =－x2＋xy－1，若2A＋4B的值与x的取值无关，试求y的值。

三、应用与创新：

1．用不等号“>”或“<”表示的关系式，叫做不等式，一般记作：A>B（或A

①如果A>B，那么B

②如果A>B，B>C，那么A>C；

③如果A>B，那么A±m>B±m；

④如果A>B且m>0，那么Am>Bm

⑤如果A>B且m<0，那么Am_________Bm（请思考）

1①已知：不等式：5aba7b，你能运用不等式的性质比较a、b的大小2吗？

1例解：∵5aba7b

2∴10a－2b>a＋7b（两边同乘以2，性质④）

∴9a－2b>7b（两边同减去a，性质③）

9a>9b（两边同加上2b，性质③）

1∴a>b（两边同乘以，性质④）

9

练一练：①已知：不等式2a＋3b>3a＋2b，试比较a、b的大小；

1②已知：5x15y，试比较x、y的大小；

5③试用不等式的基本性质，说明如果有理数a>b，其平均数足a>ab>b。

2ab满2

2．设实数a、b、c、d、e同时满足下列条件：

①a>b ②e－a = d－b ③c－d < b－a ④a＋b = c＋d

试将a、b、c、d、e从小到大排列起来。

思维训练题（八）

班级______________ 姓名_____________

一、填空题：

1．已知|a| = 4，|b| = 3，且a < b，则a＋b = ______________。

12．若－1< x <0，则，x，x2，x3的大小顺序是__________________________。

xaa3．如果1，则a为_____________，1，则a为_____________。

aa24．已知a < 0，－1< b <0，则a，ab，ab之间的大小关系是_______________。

5．由下列等式①|a－b| = |b－a|；②（a－b）2

=（b－a）2；③|x＋3| = x＋3；④12003（a－b）3

=（b－a）3；⑤45 = 54；⑥22_____________（填序号）。

20041，其中一定正确的有2

36．已知：x = 3是方程ax21的一个解，则a = _____________。

2117．已知：方程2x = 4与方程xm的解相同，则m = _____________。

328．当a__________，b_________，时，方程ax = b中x有无数值使方程成立。

当a__________，b_________，时，方程ax = b中x没有值使方程成立。

b当a__________，b_________，时，方程ax = b中有唯一解x。

a二、解下列方程：（1、2两题要求检验）

2x110x12x11．2345x181272 2．1

364

1.88x1.33x5x0.43．

1.220.3

4．关于x的方程（m＋1）x = n－x （m≠－2）

三、应用与创新：

1．计算多项式ax3＋bx2＋cx＋d的值有以下3种算法，分别统计3种算法中的乘法次数。

①直接计算：ax3＋bx2＋cx＋d中共有3＋2＋1 = 6（次）乘法

具体的为：a·x·x·x＋b·x·x＋c·x＋d

3次 2次 1次

②利用已有幂运算结果：x3 = x2·x，共2＋2＋1 = 5（次）乘法

具体的为：a·x2·x＋b·x·x＋c·x

利用

③逐项迭代：ax＋bx2＋cx＋d

= [（ax＋b）·x＋c]·x＋d，其中等式右端运算中含有3次乘法。

试一试：

（1）分别使用以上3种算法，统计算式a0x10＋a1x9＋a2x8＋…＋a9x＋a10中乘法的次数，并比较3种算法的优劣。

3

（2）对n次多项式a0xn＋a1xn－1＋a2xn－2＋…＋an－1x＋an＋（其中a0，a1，a2，…，an为系数，n > 1），分别使用3种算法统计其中乘法的次数，并比较3种算法的优劣。

2．某生活小区内有14条小路，要在小路上安装5盏路灯照亮每条小路，你能做到吗？

思维训练题（九）

班级______________ 姓名_____________

一、选择题：

1．已知：a是任意实数，在下面各题中，结论正确的个数是（ ）

（1）方程ax = 0的解是x = 0 （2）方程ax = a的解是x = 1

x11（3）方程ax = 1的解是x = （4）方程的解是x = 1

aaaA．0个 B．1个 C．2个 D．3个

22．关于x的方程x3k5xk1的解是负数，则k的值为（ ）

3111A．k B．k C．k D．以上解答都222不对

3．一种商品每件进价a元，按进价增加25%定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利（ ）

A．0.125a B．0.15a C．0.25a D．1.25a

4．方程x（x－3）= 0的解是（ ）

A．0或3 B．0 C．3 D．无解

5．关于x的方程mx＋p = nx＋q无解，则m、n、p、q应满足（ ）

A．m≠n B．m≠n且p≠q C．m=n且p≠q D．m≠n且p=q

6．关于x的方程ax＋b = bx＋a（a≠b）的解为（ ）

A．0 B．－1 C．1 D．一切有理数

二、解下列方程：

11111．x1641 2．20%x120%320x32040%

2345

xxxx3．（ax－b）（a＋b）= 0

...2004 4．12233420042005

3xa15xa5．已知：关于x的方程3x2x4与1有相同的解，1283求a的值。

三、应用与创新：

1．有两个班的同学要到实习农场去参加劳动，但只有一辆车接送，甲班学生坐车从学校出发的同时，乙班学生开始步行，车到途中某处，让甲班学生下车步行，车立刻返回接乙班学生上车并直接开往农场，学生步行速度为每小时4千米，载学生时车速为每小时40千米，空车每小时50千米，问要使两班学生同时到达距离学校112千米的农场，甲班学生步行多少千米？

2．将一些15厘米×21厘米的小矩形模板拼成一个面积为6300厘米2的大矩形板（不许折断），共有多少种不同的拼法？

思维训练题（十）

班级______________ 姓名_____________

一、选择题：

1．a、b、c三个有理数在数轴上的位置如图所示，则（ ）

111A．

cacbab111B．

cababc111· · ·

C．

b a

c

bccaba111D．

abacbc2．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、d，且d－2a = 10，那么数轴的原点应是（ ）

a b c d

A．A点

· · · · · · · ·

B．B点

A B C D

C．C点

D．D点

3．下列各代数式的值一定是负数的（ ）

A．－|a＋2| B．－（a－3）2 C．－|a|－1 D．－（a＋3）2

＋1

4．如果abc≠0，则abcabcabcabc的值可能有（ ）

A．1种 B．2种

C．3种 D．4种

5．一个四次多项式与一个三次多项式之和是（ ）

A．四次多项式 B．四次单项式

C．四次式 D．七次多项式

2a3b4c56．已知：b = 4a＋3，c = 5a－1（a≠0），则代数式的值3a4b5c7为（ ）

A．与a的取值有关 B．二、解答下列各题：

175 C． D．其它结果

2272221．若3a2＋2b2－7 = 0，求代数式ab3的值。

3

2xxyy125，求代数式2．若8x3xy4y的值。

xy

3．代数式（2ax2＋3x＋2）－（5x2－3－6bx）的值与x无关，试求a、b的值。

24．已知|2a＋1|＋4|b－4| = －（c＋1），试求代数式9a2b2－｛ac2－[6a2b2＋（4a2c－3ac2）]－6a2c｝的值。

5．当x>5时，化简|15－3x|－|2x－11|。

三、应用与创新：

*y = ax＋by，其中a、b、都是常数且等1．对于任意实数x、y，定义运算x○*3 = 4，对于任意实数x，x○*m = x总是式右边是通常意义的加法和乘法，已知2○成立，求a、b、m的值。

2．某出租汽车停车站已停有6辆出租车，第一辆出租车出发后，每隔4分钟就有一辆汽车开出，在第一辆汽车开出2分钟后，有一辆出租车进站，以后每隔6分钟就有一辆出租车回站，回站的出租车在原有的出租车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆，问第一辆出租车出发后，经过最少多少时间，车站不能按时发车？