2024年3月29日发(作者：苍星菱)

模态分析指的是以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法。

首先建立结构的物理参数模型，即以质量、阻尼、刚度为参数的关于

位移的振动微分方程；其次是研究其特征值问题，求得特征对（特征

值和特征矢量），进而得到模态参数模型，即系统的模态频率、模态

矢量、模态阻尼比、模态质量、模态刚度等参数。

特征根问题

以图3所示的三自由度无阻尼系统为例，设

m

1

=m

2

=m

3

=m

，

k

1

=k

2

=k

3

=k

，

图错误!未指定顺序。三自由度系统

其齐次运动方程为：

（8）

其中



m

1

0



分别为系统的质量矩阵和刚度矩阵，

m=0m

2





0



0

-k

1

k

1

+k

2

-k

2

0



m00





0m0



，

0



=



m

3









00m







k

1

k=





-k

2





0

0



k-k0





-k2k-k



，则运动方程展开式为：

-k

2



=



k

1









0-kk







¨



z

1



m00







kk0



z

1



0



¨





0m0





z



z







0



（9）

2kk

2



k





2





¨







00m







z

3







0kk









z

3









0







定义主振型

由于是无阻尼系统，因此系统守恒，系统存在振动主振型。主振型意味着各物理坐标振

动的相位角不是同相（相差0

o

）就是反相位（相差180

o

），即同时达到平衡位置和最大位置。

主振型定义如下：

z

i

=z

mi

sin



ω

i

t+



i



=z

mi

Im(e

jω

i

t+



i

)

（10）

其中为第

i

阶频率下，各自有度的位移矢量，为第

i

个特征矢量，表示第

i

阶固有频率

下的振型，

ω

i

为第

i

阶频率下的第

i

个特征值，



i

为初始相位。

对于三自由度系统，在第

i

阶频率下，等式可以写成



z

1



z

m1i





z



=



z



sin(ωt+



)

（11）

ii



2



m2i







z

3









z

m3i





z

mki

表示第

k

个自由度在第

i

阶模态下的模态矩阵。

特征值

对式（10）二次求导，得

z

i

=-ω

i

2

z

mi

sin(ω

i

+



i

)

（12）

代入齐次运动方程得

（13）

去除项化简得

（14）

以矩阵的形式展开得：

¨



k-ω

i

2

m-k0





2

-k2k-ωm-k

i



z

mi

=0

（15）

2



0-kk-ωm



i



有非零解，则



k-ω

i

2

m-k0





2

-k2k-ωm-k

i



=0

（16）

2



0-kk-ωm



i



即

ω

2



-m

3

ω

4

+4km

2

ω

2

-3k

2

m



=0

（17）

方程解如下：

ω

1

=0

，

ω

2

=



3kk

，

ω

3

=



。三个解对应该系统的前三阶固有频率，

mm

每一个特征根对应一个特征矢量，表示对应模态下该系统的振型。

特征矢量

由式得矩阵展开形式：



k-ω

i

2

m-k0





z

m1i







=0

（18）

2

-k2k-ωm-kz

i





m2i



2



0-kk-ω

i

m





z

m3i









展开第一行和第二行，忽略下脚标m和i，得

2024年3月29日发(作者：苍星菱)

模态分析指的是以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法。

首先建立结构的物理参数模型，即以质量、阻尼、刚度为参数的关于

位移的振动微分方程；其次是研究其特征值问题，求得特征对（特征

值和特征矢量），进而得到模态参数模型，即系统的模态频率、模态

矢量、模态阻尼比、模态质量、模态刚度等参数。

特征根问题

以图3所示的三自由度无阻尼系统为例，设

m

1

=m

2

=m

3

=m

，

k

1

=k

2

=k

3

=k

，

图错误!未指定顺序。三自由度系统

其齐次运动方程为：

（8）

其中



m

1

0



分别为系统的质量矩阵和刚度矩阵，

m=0m

2





0



0

-k

1

k

1

+k

2

-k

2

0



m00





0m0



，

0



=



m

3









00m







k

1

k=





-k

2





0

0



k-k0





-k2k-k



，则运动方程展开式为：

-k

2



=



k

1









0-kk







¨



z

1



m00







kk0



z

1



0



¨





0m0





z



z







0



（9）

2kk

2



k





2





¨







00m







z

3







0kk









z

3









0







定义主振型

由于是无阻尼系统，因此系统守恒，系统存在振动主振型。主振型意味着各物理坐标振

动的相位角不是同相（相差0

o

）就是反相位（相差180

o

），即同时达到平衡位置和最大位置。

主振型定义如下：

z

i

=z

mi

sin



ω

i

t+



i



=z

mi

Im(e

jω

i

t+



i

)

（10）

其中为第

i

阶频率下，各自有度的位移矢量，为第

i

个特征矢量，表示第

i

阶固有频率

下的振型，

ω

i

为第

i

阶频率下的第

i

个特征值，



i

为初始相位。

对于三自由度系统，在第

i

阶频率下，等式可以写成



z

1



z

m1i





z



=



z



sin(ωt+



)

（11）

ii



2



m2i







z

3









z

m3i





z

mki

表示第

k

个自由度在第

i

阶模态下的模态矩阵。

特征值

对式（10）二次求导，得

z

i

=-ω

i

2

z

mi

sin(ω

i

+



i

)

（12）

代入齐次运动方程得

（13）

去除项化简得

（14）

以矩阵的形式展开得：

¨



k-ω

i

2

m-k0





2

-k2k-ωm-k

i



z

mi

=0

（15）

2



0-kk-ωm



i



有非零解，则



k-ω

i

2

m-k0





2

-k2k-ωm-k

i



=0

（16）

2



0-kk-ωm



i



即

ω

2



-m

3

ω

4

+4km

2

ω

2

-3k

2

m



=0

（17）

方程解如下：

ω

1

=0

，

ω

2

=



3kk

，

ω

3

=



。三个解对应该系统的前三阶固有频率，

mm

每一个特征根对应一个特征矢量，表示对应模态下该系统的振型。

特征矢量

由式得矩阵展开形式：



k-ω

i

2

m-k0





z

m1i







=0

（18）

2

-k2k-ωm-kz

i





m2i



2



0-kk-ω

i

m





z

m3i









展开第一行和第二行，忽略下脚标m和i，得