2024年4月9日发(作者：司虹雨)
内蒙古赤峰2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知
识点分类
一．提公因式法与公式法的综合运用（共2小题）
1．（2023•赤峰）分解因式：x
3
﹣9x＝
2．（2022•赤峰）分解因式：2x
3
+4x
2
+2x＝
二．解分式方程（共1小题）
3．（2023•赤峰）方程+＝1的解为 ．
．
．
三．函数自变量的取值范围（共1小题）
4．（2021•赤峰）在函数y＝
是 ．
中，自变量x的取值范围
四．函数的图象（共1小题）
5．（2022•赤峰）已知王强家、体育场、学校在同一直线上，下面的图象反映的过程是：某
天早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到
学校．图中x表示时间，y表示王强离家的距离．则下列结论正确的是
写所有正确结论的序号）
①体育场离王强家2.5km
②王强在体育场锻炼了30min
③王强吃早餐用了20min
④王强骑自行车的平均速度是0.2km/min
．（填
五．抛物线与x轴的交点（共2小题）
6．（2023•赤峰）如图，抛物线y＝x
2
﹣6x+5与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D
（2，m）在抛物线上，点E在直线BC上，若∠DEB＝2∠DCB，则点E的坐标
是 ．
7．（2022•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x
2
﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D
（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标
为 ．
六．正方形的性质（共1小题）
8．（2021•赤峰）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，连接AE与对角
线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以
下结论：①CF⊥DE；②
是 ．
＝；③GH＝；④AD＝AH，其中正确结论的序号
七．正多边形和圆（共1小题）
9．（2021•赤峰）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝
20mm，则边长a＝ mm．
八．解直角三角形的应用（共1小题）
10．（2023•赤峰）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A地和B地之间的一处垃圾填
埋场进行改造，把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线，改造成可以直线通行的公
路AB．如图，经勘测，AC＝6千米，∠CAB＝60°，∠CBA＝37°，则改造后公路AB
的长是
°≈0.75，
千米（精确到0.1千米；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37
≈1.73）．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
11．（2022•赤峰）如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据
光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O
处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此
时测得观测者观看镜子的俯角α＝60°，观测者眼睛与地面距离CD＝1.7m，BD＝11m，
则旗杆AB的高度约为 m．（结果取整数，≈1.7）
12．（2021•赤峰）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水
平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头C处的高度
CD为238米，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB的长度为 米．（结果
保留整数，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
内蒙古赤峰2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知
识点分类
参考答案与试题解析
一．提公因式法与公式法的综合运用（共2小题）
1．（2023•赤峰）分解因式：x
3
﹣9x＝ x（x+3）（x﹣3） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝x（x
2
﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3），
故答案为：x（x+3）（x﹣3）．
2．（2022•赤峰）分解因式：2x
3
+4x
2
+2x＝ 2x（x+1）
2
．
【答案】2x（x+1）
2
．
【解答】解：原式＝2x（x
2
+2x+1）
＝2x（x+1）
2
．
故答案为：2x（x+1）
2
．
二．解分式方程（共1小题）
3．（2023•赤峰）方程+＝1的解为 x＝4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方程两边同时乘以（x
2
﹣4）得：
x﹣2+x+6＝x
2
﹣4，
整理得：x
2
﹣2x﹣8＝0，
解得：x
1
＝4，x
2
＝﹣2，
检验：当x
1
＝4时，x
2
﹣4≠0，∴x
1
＝4是原方程的根，
当x
2
＝﹣2时，x
2
﹣4＝0，∴x
2
＝﹣2是原方程的增根，舍去，
∴x＝4是原方程的根．
故答案为：x＝4．
三．函数自变量的取值范围（共1小题）
4．（2021•赤峰）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1且x≠ ．
【答案】x≥﹣1且x≠．
【解答】解：根据题意得：
解得：x≥﹣1且x≠．
故答案为：x≥﹣1且x≠．
四．函数的图象（共1小题）
5．（2022•赤峰）已知王强家、体育场、学校在同一直线上，下面的图象反映的过程是：某
天早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到
学校．图中x表示时间，y表示王强离家的距离．则下列结论正确的是 ①③
④ ．（填写所有正确结论的序号）
①体育场离王强家2.5km
②王强在体育场锻炼了30min
③王强吃早餐用了20min
④王强骑自行车的平均速度是0.2km/min
，
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由图象中的折线中的第一段可知：王强家距离体育场2.5千米，用时15分
钟跑步到达，
∴①的结论正确；
由图象中的折线中的第二段可知：王强从第15分钟开始锻炼，第30分钟结束，
∴王强锻炼的时间为：30﹣15＝15（分钟），
∴②的结论不正确；
由图象中的折线中的第三段可知：王强从第30中开始回家，第67分钟到家；
由图象中的折线中的第四段可知：王强从第67分钟开始吃早餐，第87分钟结束，
∴王强吃早餐用时：87﹣67＝20（分钟），
∴③的结论正确；
由图象中的折线中的第五段可知：王强从第87分钟开始骑车去往3千米外的学校，第102
分钟到达学校，
∴王强骑自行车用时为：102﹣87＝15（分钟），
∴王强骑自行车的平均速度是：3÷15＝0.2（km/min）
∴④的结论正确．
综上，结论正确的有：①③④，
故答案为：①③④．
五．抛物线与x轴的交点（共2小题）
6．（2023•赤峰）如图，抛物线y＝x
2
﹣6x+5与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D
（2，m）在抛物线上，点E在直线BC上，若∠DEB＝2∠DCB，则点E的坐标是
和 ．
【答案】 和 ．
【解答】解：根据D点坐标，有m＝2
2
﹣6×2+5＝﹣3，所，以D点坐标（2，﹣3），
设BC所在直线解析式为 y＝kx+b，其过点C（0，5）、B（5，0），
解得
，
，
BC所在直线的解析式为：y＝﹣x+5，
当E点在线段BC上时，设E（a，﹣a+5），∠DEB＝∠DCE+∠CDE，而∠DEB＝2∠
DCB，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴CE＝DE，
因为E（a，﹣a+5），C（0，5），D（2，﹣3），
有
解得：，，所以E点的坐标为：
，
，
当E在CB的延长线上时，
在△BDC中，BD
2
＝（5﹣2）
2
+3
2
＝18，
BC
2
＝5
2
+5
2
＝50，DC
2
＝（5+3）
2
+2
2
＝68，
BD
2
+BC
2
＝DC
2
，
∴BD⊥BC 如图延长EB至 E'，取 BE'＝BE，
则有△DEE'为等腰三角形，DE＝DE'，
∴∠DEE′＝∠DE′E，
又∵∠DEB＝2∠DCB，
∴∠DE′E＝2∠DCB，
则E′为符合题意的点，
∵OC＝OB＝5∠OBC＝45°，
E′的横坐标：，纵坐标为 ；
2024年4月9日发(作者：司虹雨)
内蒙古赤峰2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知
识点分类
一．提公因式法与公式法的综合运用（共2小题）
1．（2023•赤峰）分解因式：x
3
﹣9x＝
2．（2022•赤峰）分解因式：2x
3
+4x
2
+2x＝
二．解分式方程（共1小题）
3．（2023•赤峰）方程+＝1的解为 ．
．
．
三．函数自变量的取值范围（共1小题）
4．（2021•赤峰）在函数y＝
是 ．
中，自变量x的取值范围
四．函数的图象（共1小题）
5．（2022•赤峰）已知王强家、体育场、学校在同一直线上，下面的图象反映的过程是：某
天早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到
学校．图中x表示时间，y表示王强离家的距离．则下列结论正确的是
写所有正确结论的序号）
①体育场离王强家2.5km
②王强在体育场锻炼了30min
③王强吃早餐用了20min
④王强骑自行车的平均速度是0.2km/min
．（填
五．抛物线与x轴的交点（共2小题）
6．（2023•赤峰）如图，抛物线y＝x
2
﹣6x+5与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D
（2，m）在抛物线上，点E在直线BC上，若∠DEB＝2∠DCB，则点E的坐标
是 ．
7．（2022•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x
2
﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D
（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标
为 ．
六．正方形的性质（共1小题）
8．（2021•赤峰）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，连接AE与对角
线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以
下结论：①CF⊥DE；②
是 ．
＝；③GH＝；④AD＝AH，其中正确结论的序号
七．正多边形和圆（共1小题）
9．（2021•赤峰）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝
20mm，则边长a＝ mm．
八．解直角三角形的应用（共1小题）
10．（2023•赤峰）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A地和B地之间的一处垃圾填
埋场进行改造，把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线，改造成可以直线通行的公
路AB．如图，经勘测，AC＝6千米，∠CAB＝60°，∠CBA＝37°，则改造后公路AB
的长是
°≈0.75，
千米（精确到0.1千米；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37
≈1.73）．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
11．（2022•赤峰）如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据
光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O
处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此
时测得观测者观看镜子的俯角α＝60°，观测者眼睛与地面距离CD＝1.7m，BD＝11m，
则旗杆AB的高度约为 m．（结果取整数，≈1.7）
12．（2021•赤峰）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水
平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头C处的高度
CD为238米，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB的长度为 米．（结果
保留整数，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
内蒙古赤峰2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知
识点分类
参考答案与试题解析
一．提公因式法与公式法的综合运用（共2小题）
1．（2023•赤峰）分解因式：x
3
﹣9x＝ x（x+3）（x﹣3） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝x（x
2
﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3），
故答案为：x（x+3）（x﹣3）．
2．（2022•赤峰）分解因式：2x
3
+4x
2
+2x＝ 2x（x+1）
2
．
【答案】2x（x+1）
2
．
【解答】解：原式＝2x（x
2
+2x+1）
＝2x（x+1）
2
．
故答案为：2x（x+1）
2
．
二．解分式方程（共1小题）
3．（2023•赤峰）方程+＝1的解为 x＝4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方程两边同时乘以（x
2
﹣4）得：
x﹣2+x+6＝x
2
﹣4，
整理得：x
2
﹣2x﹣8＝0，
解得：x
1
＝4，x
2
＝﹣2，
检验：当x
1
＝4时，x
2
﹣4≠0，∴x
1
＝4是原方程的根，
当x
2
＝﹣2时，x
2
﹣4＝0，∴x
2
＝﹣2是原方程的增根，舍去，
∴x＝4是原方程的根．
故答案为：x＝4．
三．函数自变量的取值范围（共1小题）
4．（2021•赤峰）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1且x≠ ．
【答案】x≥﹣1且x≠．
【解答】解：根据题意得：
解得：x≥﹣1且x≠．
故答案为：x≥﹣1且x≠．
四．函数的图象（共1小题）
5．（2022•赤峰）已知王强家、体育场、学校在同一直线上，下面的图象反映的过程是：某
天早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到
学校．图中x表示时间，y表示王强离家的距离．则下列结论正确的是 ①③
④ ．（填写所有正确结论的序号）
①体育场离王强家2.5km
②王强在体育场锻炼了30min
③王强吃早餐用了20min
④王强骑自行车的平均速度是0.2km/min
，
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由图象中的折线中的第一段可知：王强家距离体育场2.5千米，用时15分
钟跑步到达，
∴①的结论正确；
由图象中的折线中的第二段可知：王强从第15分钟开始锻炼，第30分钟结束，
∴王强锻炼的时间为：30﹣15＝15（分钟），
∴②的结论不正确；
由图象中的折线中的第三段可知：王强从第30中开始回家，第67分钟到家；
由图象中的折线中的第四段可知：王强从第67分钟开始吃早餐，第87分钟结束，
∴王强吃早餐用时：87﹣67＝20（分钟），
∴③的结论正确；
由图象中的折线中的第五段可知：王强从第87分钟开始骑车去往3千米外的学校，第102
分钟到达学校，
∴王强骑自行车用时为：102﹣87＝15（分钟），
∴王强骑自行车的平均速度是：3÷15＝0.2（km/min）
∴④的结论正确．
综上，结论正确的有：①③④，
故答案为：①③④．
五．抛物线与x轴的交点（共2小题）
6．（2023•赤峰）如图，抛物线y＝x
2
﹣6x+5与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D
（2，m）在抛物线上，点E在直线BC上，若∠DEB＝2∠DCB，则点E的坐标是
和 ．
【答案】 和 ．
【解答】解：根据D点坐标，有m＝2
2
﹣6×2+5＝﹣3，所，以D点坐标（2，﹣3），
设BC所在直线解析式为 y＝kx+b，其过点C（0，5）、B（5，0），
解得
，
，
BC所在直线的解析式为：y＝﹣x+5，
当E点在线段BC上时，设E（a，﹣a+5），∠DEB＝∠DCE+∠CDE，而∠DEB＝2∠
DCB，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴CE＝DE，
因为E（a，﹣a+5），C（0，5），D（2，﹣3），
有
解得：，，所以E点的坐标为：
，
，
当E在CB的延长线上时，
在△BDC中，BD
2
＝（5﹣2）
2
+3
2
＝18，
BC
2
＝5
2
+5
2
＝50，DC
2
＝（5+3）
2
+2
2
＝68，
BD
2
+BC
2
＝DC
2
，
∴BD⊥BC 如图延长EB至 E'，取 BE'＝BE，
则有△DEE'为等腰三角形，DE＝DE'，
∴∠DEE′＝∠DE′E，
又∵∠DEB＝2∠DCB，
∴∠DE′E＝2∠DCB，
则E′为符合题意的点，
∵OC＝OB＝5∠OBC＝45°，
E′的横坐标：，纵坐标为 ；