2024年5月17日发(作者：扬飞章)
分部积分法不定积分例题
不定积分是积分计算中较为复杂的一块领域，有时候在积分计算
中，由于待积函数的复杂性，原本的定积分无法求解，则使用不定积
分来解决。所以，在学习积分计算中，不定积分也是一个重要的部分。
本文将利用分部积分法，结合实例来进行不定积分的计算，以期能够
帮助大家对不定积分有一个更加全面的理解。
一、什么是分部积分
分部积分也叫分段积分，是指在一定的区间上，将其划分成N个
子区间，以近似的方式求解无法取得精确答案的积分，可以将复杂的
积分问题分割成许多容易求解的积分问题，以达到快速精确求解的思
想。
二、分部积分法不定积分实例
例1：求下列不定积分：
$$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx$$
解：
首先，将区间[2,3]划分为N段，即将[2,3]划分为[2,2.5]和
[2.5,3]两段，则可得：
$$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx=int_{2}^{2.5}3x^2+2x+1dx+int_{2.5}
^{3}3x^2+2x+1dx$$
设此时此刻区间[2,2.5]及[2.5,3]最左端的点分别为$a_i$和
$b_i$，此时取$a_i$=$b_i$=2.5，且求得：
- 1 -
$$int_{2}^{2.5}3x^2+2x+1dx=int_{2}^{2.5}(9.375+5+1)dx=83.12
5$$
$$int_{2.5}^{3}3x^2+2x+1dx=int_{2.5}^{3}(14.0625+7.5+1)dx=1
49.0625$$
则最后，可得：
$$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx=83.125+149.0625=232.1875$$
例2：求下列不定积分：
$$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx$$
解：
同样，将区间[-2,4]划分为N段，即将[-2,4]划分为[-2,1]和
[1,4]两段，则可得：
$$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx=int_{-2}^{1}4x^3+3x^2+1dx+int_{
1}^{4}4x^3+3x^2+1dx$$
设此时此刻区间[-2,1]及[1,4]最左端的点分别为$a_i$和$b_i$，
此时取$a_i$=$b_i$=1，且求得：
$$int_{-2}^{1}4x^3+3x^2+1dx=int_{-2}^{1}(4+3+1)dx=-22$$
$$int_{1}^{4}4x^3+3x^2+1dx=int_{1}^{4}(64+12+1)dx=63$$
则最后，可得：
$$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx=-22+63=41$$
- 2 -
三、实例总结
通过上述两个实例，我们更好的理解了分部积分法的手段，也更
加清楚了它的计算流程，即将一个复杂的不定积分，利用区间划分的
方法分割成小的不定积分，最终求得总的不定积分的值。同时，利用
实例的方法进行学习，也能更好的帮助大家理解不定积分的计算流程，
有利于以后更加有效的解决类似的问题。
总之，本文主要介绍了分部积分法不定积分的计算流程，以及一
些相关的实例，以供大家参考。在复杂的积分计算中，不定积分是一
个重要的领域，且分部积分是一种比较实用的积分计算方法，它可以
将一个复杂的积分分割成一系列容易求解的积分，从而更快更准确的
求解整个积分。
- 3 -
2024年5月17日发(作者：扬飞章)
分部积分法不定积分例题
不定积分是积分计算中较为复杂的一块领域，有时候在积分计算
中，由于待积函数的复杂性，原本的定积分无法求解，则使用不定积
分来解决。所以，在学习积分计算中，不定积分也是一个重要的部分。
本文将利用分部积分法，结合实例来进行不定积分的计算，以期能够
帮助大家对不定积分有一个更加全面的理解。
一、什么是分部积分
分部积分也叫分段积分，是指在一定的区间上，将其划分成N个
子区间，以近似的方式求解无法取得精确答案的积分，可以将复杂的
积分问题分割成许多容易求解的积分问题，以达到快速精确求解的思
想。
二、分部积分法不定积分实例
例1：求下列不定积分：
$$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx$$
解：
首先，将区间[2,3]划分为N段，即将[2,3]划分为[2,2.5]和
[2.5,3]两段，则可得：
$$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx=int_{2}^{2.5}3x^2+2x+1dx+int_{2.5}
^{3}3x^2+2x+1dx$$
设此时此刻区间[2,2.5]及[2.5,3]最左端的点分别为$a_i$和
$b_i$，此时取$a_i$=$b_i$=2.5，且求得：
- 1 -
$$int_{2}^{2.5}3x^2+2x+1dx=int_{2}^{2.5}(9.375+5+1)dx=83.12
5$$
$$int_{2.5}^{3}3x^2+2x+1dx=int_{2.5}^{3}(14.0625+7.5+1)dx=1
49.0625$$
则最后，可得：
$$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx=83.125+149.0625=232.1875$$
例2：求下列不定积分：
$$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx$$
解：
同样，将区间[-2,4]划分为N段，即将[-2,4]划分为[-2,1]和
[1,4]两段，则可得：
$$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx=int_{-2}^{1}4x^3+3x^2+1dx+int_{
1}^{4}4x^3+3x^2+1dx$$
设此时此刻区间[-2,1]及[1,4]最左端的点分别为$a_i$和$b_i$，
此时取$a_i$=$b_i$=1，且求得：
$$int_{-2}^{1}4x^3+3x^2+1dx=int_{-2}^{1}(4+3+1)dx=-22$$
$$int_{1}^{4}4x^3+3x^2+1dx=int_{1}^{4}(64+12+1)dx=63$$
则最后，可得：
$$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx=-22+63=41$$
- 2 -
三、实例总结
通过上述两个实例，我们更好的理解了分部积分法的手段，也更
加清楚了它的计算流程，即将一个复杂的不定积分，利用区间划分的
方法分割成小的不定积分，最终求得总的不定积分的值。同时，利用
实例的方法进行学习，也能更好的帮助大家理解不定积分的计算流程，
有利于以后更加有效的解决类似的问题。
总之，本文主要介绍了分部积分法不定积分的计算流程，以及一
些相关的实例，以供大家参考。在复杂的积分计算中，不定积分是一
个重要的领域，且分部积分是一种比较实用的积分计算方法，它可以
将一个复杂的积分分割成一系列容易求解的积分，从而更快更准确的
求解整个积分。
- 3 -