2024年8月25日发(作者：旷晤)
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【成才之路】2015-2016学年高中数学 圆与圆的位置关系课时作业
新人教B版必修2
一、选择题
1．(2015·某某某某市高一期末测试)圆
x
＋
y
＝1和圆
x
＋
y
－6
y
＋5＝0的位置关系是
( )
A．外切
C．外离
[答案] A
[解析] 圆
x
＋
y
＝1的圆心
C
1
(0,0)，半径
r
1
＝1，圆
x
＋
y
－6
y
＋5＝0的圆心
C
2
(0,3)，
半径
r
2
＝2，∴两圆心的距离|
C
1
C
2
|＝0－0
2
2222
2222
B．内切
D．内含
＋3－0
2
＝3，
∴|
C
1
C
2
|＝
r
1
＋
r
2
＝3，故两圆外切．
故选A．
2．两圆
x
＋
y
＝
r
，(
x
－3)＋(
y
＋4)＝4外切，则正实数
r
的值为( )
A．1
C．3
[答案] C
[解析] 两圆心的距离
d
＝5，由题意，得
r
＋2＝5，∴
r
＝3.
3．(2015·某某某某一中高一期末测试)圆
x
＋
y
－4
x
＋6
y
＝0和圆
x
＋
y
－6
x
＝0交于
2222
22222
B．2
D．4
A
、
B
两点，则
AB
的垂直平分线的方程是( )
A．
x
＋
y
＋3＝0
C．3
x
－
y
－9＝0
[答案] C
[解析] 圆
x
＋
y
－4
x
＋6
y
＝0和圆
x
＋
y
－6
x
＝0的圆心坐标分别为(2，－3)和(3,0)，
2222
B．2
x
－
y
－5＝0
D．4
x
－3
y
＋7＝0
AB
的垂直平分线必过两圆圆心，只有选项C正确．
4．两圆
C
1
：
x
＋
y
＋2
x
＋2
y
－2＝0和
C
2
：
x
＋
y
－4
x
－2
y
＋1＝0的公切线有且仅有( )
A．1条
C．3条
[答案] B
[解析]⊙
C
1
圆心
C
1
(－1，－1)，半径
r
1
＝2，
⊙
C
2
圆心
C
2
(2,1)，半径
r
2
＝2，
|
C
1
C
2
|＝13，0<13<4，∴两圆相交．
B．2条
D．4条
2222
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5．圆(
x
－2)＋(
y
＋3)＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是( )
A．(1，－2)
C．(2，－1)
[答案] B
[解析] 验证法：所求的点应在圆心(2，－3)与点(0，－5)确定的直线
x
－
y
－5＝0上，
故选B.
6．动点
P
与定点
A
(－1,0)，
B
(1,0)连线的斜率之积为－1，则
P
点的轨迹方程为( )
A．
x
＋
y
＝1
C．
x
＋
y
＝1(
x
≠0)
[答案] B
[解析] 直接法，设
P
(
x
，
y
)，由
k
PA
＝
1(
x
≠±1)知选B.
二、填空题
7．(2015·某某某某市一中高一期末测试)圆
x
＋
y
＋6
x
－7＝0和圆
x
＋
y
＋6
y
－27＝0
的位置关系是________．
[答案] 相交
[解析] 圆
x
＋
y
＋6
x
－7＝0的圆心为
O
1
(－3,0)，半径
r
1
＝4，圆
x
＋
y
＋6
y
－27＝0
的圆心为
O
2
(0，－3)，半径为
r
2
＝6，
∴|
O
1
O
2
|＝－3－0
2
2222
2222
22
22
22
B．(3，－2)
D．(2＋2，2－3)
B．
x
＋
y
＝1(
x
≠±1)
D．
y
＝1－
x
2
22
y
x
＋1
，
k
PB
＝
y
x
－1
及题设条件
y
x
＋1
x
－1
·
y
＝－
＋0＋3
2
＝32，
∴
r
2
－
r
1
<|
O
1
O
2
|<
r
1
＋
r
2
.
故两圆相交．
8．两圆
x
＋
y
－6
x
＝0和
x
＋
y
＝4的公共弦所在直线的方程是____________．
2
[答案]
x
＝
3
[解析] 两圆的方程
x
＋
y
－6
x
＝0和
x
＋
y
＝4相减，得公共弦所在直线的方程为
x
＝
2
.
3
三、解答题
9．判断下列两圆的位置关系．
(1)
C
1
：
x
＋
y
－2
x
－3＝0，
C
2
：
x
＋
y
－4
x
＋2
y
＋3＝0；
(2)
C
1
：
x
＋
y
－2
y
＝0，
C
2
：
x
＋
y
－23
x
－6＝0；
(3)
C
1
：
x
＋
y
－4
x
－6
y
＋9＝0，
C
2
：
x
＋
y
＋12
x
＋6
y
－19＝0；
(4)
C
1
：
x
＋
y
＋2
x
－2
y
－2＝0，
C
2
：
x
＋
y
－4
x
－6
y
－3＝0.
2222
2222
2222
2222
2222
2222
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[解析] (1)∵
C
1
：(
x
－1)＋
y
＝4，
C
2
：(
x
－2)＋(
y
＋1)＝2.
∴圆
C
1
的圆心坐标为(1,0)，半径
r
1
＝2，
圆
C
2
的圆心坐标为(2，－1)，半径
r
2
＝2，
2222
d
＝|
C
1
C
2
|＝2－1
2
＋－1
2
＝2.
∵
r
1
＋
r
2
＝2＋2，
r
1
－
r
2
＝2－2，
∴
r
1
－
r
2
<
d
<
r
1
＋
r
2
，两圆相交．
(2)∵
C
1
：
x
＋(
y
－1)＝1，
C
2
：(
x
－3)＋
y
＝9，
∴圆
C
1
的圆心坐标为(0,1)，
r
1
＝1，
圆
C
2
的圆心坐标为(3，0)，
r
2
＝3，
2222
d
＝|
C
1
C
2
|＝3＋1＝2.
∵
r
2
－
r
1
＝2，∴
d
＝
r
2
－
r
1
，两圆内切．
(3)∵
C
1
：(
x
－2)＋(
y
－3)＝4，
22
C
2
：(
x
＋6)
2
＋(
y
＋3)
2
＝64.
∴圆
C
1
的圆心坐标为(2,3)，
r
1
＝2，
圆
C
2
的圆心坐标为(－6，－3)，
r
2
＝8，
d
＝|
C
1
C
2
|＝2＋6
2
＋3＋3
2
＝10.
∵
r
1
＋
r
2
＝10，∴
d
＝
r
1
＋
r
2
，两圆外切．
(4)∵
C
1
：(
x
＋1)＋(
y
－1)＝4，
C
2
：(
x
－2)＋(
y
－3)＝16，
∴圆
C
1
的圆心坐标为(－1,1)，
r
1
＝2，
圆
C
2
的圆心坐标为(2,3)，
r
2
＝4，
2222
d
＝|
C
1
C
2
|＝2＋1
2
＋3－1
2
＝13.
∵
r
1
＋
r
2
＝6，
r
2
－
r
1
＝2，
∴
r
2
－
r
1
<
d
<
r
1
＋
r
2
，两圆相交．
10．已知圆
C
1
：
x
＋
y
－2
x
－4
y
－13＝0，
C
2
：
x
＋
y
－2
ax
－6
y
＋
a
＋1＝0(其中
a
>0)相
外切，且直线
l
：
mx
＋
y
－7＝0与
C
2
相切．
求：(1)圆
C
2
的标准方程；
(2)
m
的值．
[解析] (1)由题知
C
1
：(
x
－1)＋(
y
－2)＝18，
22
22222
C
2
：(
x
－
a
)
2
＋(
y
－3)
2
＝8.
因为
C
1
与
C
2
相外切，所以圆心距
d
＝
r
1
＋
r
2
，
即
a
－1
2
＋3－2
2
＝32＋22，
所以
a
＝8或－6(舍去)．
所以圆
C
2
的标准方程为(
x
－8)＋(
y
－3)＝8.
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(2)由(1)知圆心
C
2
(8,3)，因为
l
与
C
2
相切，
所以圆心
C
2
到直线
l
的距离
d
＝
r
，
即
|8
m
＋3－7|
＝22，
m
2
＋1
1
所以
m
＝1或.
7
一、选择题
1．半径为6的圆与
x
轴相切，且与圆
x
＋(
y
－3)＝1内切，则此圆的方程是( )
A．(
x
－4)＋(
y
－6)＝6
B．(
x
＋4)＋(
y
－6)＝6或(
x
－4)＋(
y
－6)＝6
C．(
x
－4)＋(
y
－6)＝36
D．(
x
＋4)＋(
y
－6)＝36或(
x
－4)＋(
y
－6)＝36
[答案] D
[解析] 由题意可设圆的方程为(
x
－
a
)＋(
y
－6)＝36，
由题意，得
a
＋9＝5，∴
a
＝16，∴
a
＝±4.
2．过圆
x
＋
y
－2
x
＋4
y
－4＝0内的点
M
(3,0)作一条直线
l
，使它被该圆截得的线段最
短，则直线
l
的方程是( )
A．
x
＋
y
－3＝0
C．
x
＋4
y
－3＝0
[答案] A
[解析] 圆
x
＋
y
－2
x
＋4
y
－4＝0的圆心
C
(1，－2)，当
CM
⊥
l
时，
l
截圆所得的弦最
－2－0
短，
k
CM
＝＝1，∴
k
l
＝－1，故所求直线
l
的方程为
y
－0＝－(
x
－3)，即
x
＋
y
－3＝0.
1－3
二、填空题
3．⊙
O
：
x
＋
y
＝1，⊙
C
：(
x
－4)＋
y
＝4，动圆
P
与⊙
O
和⊙
C
都外切，动圆圆心
P
的
轨迹方程为______________________．
[答案] 60
x
－4
y
－240
x
＋225＝0
[解析]⊙
P
与⊙
O
和⊙
C
都外切，设⊙
P
的圆心
P
(
x
，
y
)，半径为
R
，
则|
PO
|＝
x
＋
y
＝
R
＋1，
|
PC
|＝
∴
22
22
2222
22
22
22
22
2222
22
2222
22
22
B．
x
－
y
－3＝0
D．
x
－4
y
－3＝0
x
－4
2
2
＋
y
＝
R
＋2，
22
2
x
－4＋
y
－
x
＋
y
＝1，
22
2
移项、平方化简得：60
x
－4
y
－240
x
＋225＝0.
4．已知集合
A
＝{(
x
，
y
)|
y
＝49－
x
}，
B
＝{(
x
，
y
)|
y
＝
x
＋
m
}，且
A
∩
B
≠∅，则
m
的
4 / 6
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取值X围是________________．
[答案] －7≤
m
≤72
[解析] 由
A
∩
B
≠∅，即直线
y
＝
x
＋
m
与半圆
y
＝49－
x
有交点，如图所示．
2
如图可知，－7≤
m
≤72.
三、解答题
5．求经过两圆
x
＋
y
－2
x
－3＝0与
x
＋
y
－4
x
＋2
y
＋3＝0的交点，且圆心在直线2
x
－
2222
y
＝0上的圆的方程．
[解析] 解法一：由两圆方程联立求得交点
A
(1，－2)，
B
(3,0)，设圆心
C
(
a
，
b
)，则
12
由|
CA
|＝|
CB
|及
C
在直线2
x
－
y
＝0上，求出
a
＝，
b
＝.
33
∴所求圆的方程为3
x
＋3
y
－2
x
－4
y
－21＝0.
解法二：同上求得
A
(1，－2)、
B
(3,0)，则圆心在线段
AB
的中垂线
y
＝－
x
＋1上，又
22
12
在
y
＝2
x
上，得圆心坐标
，
.
33
∴所求圆的方程为3
x
＋3
y
－2
x
－4
y
－21＝0.
6．求⊙
C
1
：
x
＋
y
－2
y
＝0与⊙
C
2
：
x
＋
y
－23
x
－6＝0的公切线方程．
[解析]⊙
C
1
：
x
＋(
y
－1)＝1，圆心
C
1
(0,1)，半径
r
＝1，
⊙
C
2
：(
x
－3)＋
y
＝3，圆心
C
2
(3，0)，半径
R
＝3，
圆心距|
C
1
C
2
|＝2，∴|
C
1
C
2
|＝
R
－
r
，
故两圆内切，其公切线有且仅有一条过该两圆的公共点(切点)，
又由内切两圆的连心线过切点且垂直于两圆的公切线知，切点在直线
C
1
C
2
上，
∵
C
1
C
2
：
x
＋3
y
－3＝0，∴切线斜率
k
＝3.
|－1＋
b
|
设切线方程为
y
＝3
x
＋
b
，由圆心
C
1
(0,1)到切线距离
d
＝1，得＝1，∴
b
＝3
2
或－1.
|3＋
b
|
由
C
2
(3，0)到切线距离
d
′＝3，得＝3，
2
∴
b
＝3或－9，∴
b
＝3，
∴公切线方程为
y
＝3
x
＋3，即3
x
－
y
＋3＝0.
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222
222
2222
22
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7．已知圆
A
：
x
＋
y
＋2
x
＋2
y
－2＝0，若圆
B
平分圆
A
的周长，且圆
B
的圆心在直线
l
：
22
y
＝2
x
上，求满足上述条件的半径最小的圆
B
的方程．
[解析] 解法一：设圆
B
的半径为
r
，∵圆
B
的圆心在直线
l
：
y
＝2
x
上，∴圆
B
的圆
心可设为(
t,
2
t
)，则圆
B
的方程是(
x
－
t
)＋(
y
－2
t
)＝
r
，即
x
＋
y
－2
tx
－4
ty
＋5
t
－
r
＝
0. ①
∵圆
A
的方程
x
＋
y
＋2
x
＋2
y
－2＝0. ②
∴②－①，得两圆的公共弦方程(2＋2
t
)
x
＋(2＋4
t
)
y
－5
t
＋
r
－2＝0. ③
又∵圆
B
平分圆
A
的周长，∴圆
A
的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将
x
＝－1，
22
22
2222222
y
＝－1代入方程③，
3
3
2
2121
22
并整理得：
r
＝5
t
＋6
t
＋6＝5
t
＋
＋≥，所以
t
＝－时，
r
min
5
5
55
＝
21
.
5
3
2
6
2
21
此时，圆
B
的方程是
x
＋
＋
y
＋
＝.
5
5
5
解法二：如图，设圆
A
、圆
B
的圆心分别为
A
、
B
.则
A
(－1，－1)，
B
在直线
l
：
y
＝2
x
上，连接
AB
，过
A
作
MN
⊥
AB
，且
MN
交圆于
M
、
N
两点．∴
MN
为圆
A
的直径．
∵圆
B
平分圆
A
，∴只需圆
B
经过
M
、
N
两点．
∵圆
A
的半径是2，设圆
B
的半径为
r
，
∴
r
＝|
MB
|＝|
AB
|＋|
AM
|＝|
AB
|＋4.
欲求
r
的最小值，只需求|
AB
|的最小值．
∵
A
是定点，
B
是
l
上的动点，
∴当
AB
⊥
l
，即
MN
∥
l
时，|
AB
|最小．
6
3
于是，可求得
B
－，－
，
r
min
＝
5
5
21
，
5
222
3
2
6
2
21
故圆
B
的方程是
x
＋
＋
y
＋
＝.
5
5
5
6 / 6
2024年8月25日发(作者：旷晤)
word
【成才之路】2015-2016学年高中数学 圆与圆的位置关系课时作业
新人教B版必修2
一、选择题
1．(2015·某某某某市高一期末测试)圆
x
＋
y
＝1和圆
x
＋
y
－6
y
＋5＝0的位置关系是
( )
A．外切
C．外离
[答案] A
[解析] 圆
x
＋
y
＝1的圆心
C
1
(0,0)，半径
r
1
＝1，圆
x
＋
y
－6
y
＋5＝0的圆心
C
2
(0,3)，
半径
r
2
＝2，∴两圆心的距离|
C
1
C
2
|＝0－0
2
2222
2222
B．内切
D．内含
＋3－0
2
＝3，
∴|
C
1
C
2
|＝
r
1
＋
r
2
＝3，故两圆外切．
故选A．
2．两圆
x
＋
y
＝
r
，(
x
－3)＋(
y
＋4)＝4外切，则正实数
r
的值为( )
A．1
C．3
[答案] C
[解析] 两圆心的距离
d
＝5，由题意，得
r
＋2＝5，∴
r
＝3.
3．(2015·某某某某一中高一期末测试)圆
x
＋
y
－4
x
＋6
y
＝0和圆
x
＋
y
－6
x
＝0交于
2222
22222
B．2
D．4
A
、
B
两点，则
AB
的垂直平分线的方程是( )
A．
x
＋
y
＋3＝0
C．3
x
－
y
－9＝0
[答案] C
[解析] 圆
x
＋
y
－4
x
＋6
y
＝0和圆
x
＋
y
－6
x
＝0的圆心坐标分别为(2，－3)和(3,0)，
2222
B．2
x
－
y
－5＝0
D．4
x
－3
y
＋7＝0
AB
的垂直平分线必过两圆圆心，只有选项C正确．
4．两圆
C
1
：
x
＋
y
＋2
x
＋2
y
－2＝0和
C
2
：
x
＋
y
－4
x
－2
y
＋1＝0的公切线有且仅有( )
A．1条
C．3条
[答案] B
[解析]⊙
C
1
圆心
C
1
(－1，－1)，半径
r
1
＝2，
⊙
C
2
圆心
C
2
(2,1)，半径
r
2
＝2，
|
C
1
C
2
|＝13，0<13<4，∴两圆相交．
B．2条
D．4条
2222
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5．圆(
x
－2)＋(
y
＋3)＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是( )
A．(1，－2)
C．(2，－1)
[答案] B
[解析] 验证法：所求的点应在圆心(2，－3)与点(0，－5)确定的直线
x
－
y
－5＝0上，
故选B.
6．动点
P
与定点
A
(－1,0)，
B
(1,0)连线的斜率之积为－1，则
P
点的轨迹方程为( )
A．
x
＋
y
＝1
C．
x
＋
y
＝1(
x
≠0)
[答案] B
[解析] 直接法，设
P
(
x
，
y
)，由
k
PA
＝
1(
x
≠±1)知选B.
二、填空题
7．(2015·某某某某市一中高一期末测试)圆
x
＋
y
＋6
x
－7＝0和圆
x
＋
y
＋6
y
－27＝0
的位置关系是________．
[答案] 相交
[解析] 圆
x
＋
y
＋6
x
－7＝0的圆心为
O
1
(－3,0)，半径
r
1
＝4，圆
x
＋
y
＋6
y
－27＝0
的圆心为
O
2
(0，－3)，半径为
r
2
＝6，
∴|
O
1
O
2
|＝－3－0
2
2222
2222
22
22
22
B．(3，－2)
D．(2＋2，2－3)
B．
x
＋
y
＝1(
x
≠±1)
D．
y
＝1－
x
2
22
y
x
＋1
，
k
PB
＝
y
x
－1
及题设条件
y
x
＋1
x
－1
·
y
＝－
＋0＋3
2
＝32，
∴
r
2
－
r
1
<|
O
1
O
2
|<
r
1
＋
r
2
.
故两圆相交．
8．两圆
x
＋
y
－6
x
＝0和
x
＋
y
＝4的公共弦所在直线的方程是____________．
2
[答案]
x
＝
3
[解析] 两圆的方程
x
＋
y
－6
x
＝0和
x
＋
y
＝4相减，得公共弦所在直线的方程为
x
＝
2
.
3
三、解答题
9．判断下列两圆的位置关系．
(1)
C
1
：
x
＋
y
－2
x
－3＝0，
C
2
：
x
＋
y
－4
x
＋2
y
＋3＝0；
(2)
C
1
：
x
＋
y
－2
y
＝0，
C
2
：
x
＋
y
－23
x
－6＝0；
(3)
C
1
：
x
＋
y
－4
x
－6
y
＋9＝0，
C
2
：
x
＋
y
＋12
x
＋6
y
－19＝0；
(4)
C
1
：
x
＋
y
＋2
x
－2
y
－2＝0，
C
2
：
x
＋
y
－4
x
－6
y
－3＝0.
2222
2222
2222
2222
2222
2222
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[解析] (1)∵
C
1
：(
x
－1)＋
y
＝4，
C
2
：(
x
－2)＋(
y
＋1)＝2.
∴圆
C
1
的圆心坐标为(1,0)，半径
r
1
＝2，
圆
C
2
的圆心坐标为(2，－1)，半径
r
2
＝2，
2222
d
＝|
C
1
C
2
|＝2－1
2
＋－1
2
＝2.
∵
r
1
＋
r
2
＝2＋2，
r
1
－
r
2
＝2－2，
∴
r
1
－
r
2
<
d
<
r
1
＋
r
2
，两圆相交．
(2)∵
C
1
：
x
＋(
y
－1)＝1，
C
2
：(
x
－3)＋
y
＝9，
∴圆
C
1
的圆心坐标为(0,1)，
r
1
＝1，
圆
C
2
的圆心坐标为(3，0)，
r
2
＝3，
2222
d
＝|
C
1
C
2
|＝3＋1＝2.
∵
r
2
－
r
1
＝2，∴
d
＝
r
2
－
r
1
，两圆内切．
(3)∵
C
1
：(
x
－2)＋(
y
－3)＝4，
22
C
2
：(
x
＋6)
2
＋(
y
＋3)
2
＝64.
∴圆
C
1
的圆心坐标为(2,3)，
r
1
＝2，
圆
C
2
的圆心坐标为(－6，－3)，
r
2
＝8，
d
＝|
C
1
C
2
|＝2＋6
2
＋3＋3
2
＝10.
∵
r
1
＋
r
2
＝10，∴
d
＝
r
1
＋
r
2
，两圆外切．
(4)∵
C
1
：(
x
＋1)＋(
y
－1)＝4，
C
2
：(
x
－2)＋(
y
－3)＝16，
∴圆
C
1
的圆心坐标为(－1,1)，
r
1
＝2，
圆
C
2
的圆心坐标为(2,3)，
r
2
＝4，
2222
d
＝|
C
1
C
2
|＝2＋1
2
＋3－1
2
＝13.
∵
r
1
＋
r
2
＝6，
r
2
－
r
1
＝2，
∴
r
2
－
r
1
<
d
<
r
1
＋
r
2
，两圆相交．
10．已知圆
C
1
：
x
＋
y
－2
x
－4
y
－13＝0，
C
2
：
x
＋
y
－2
ax
－6
y
＋
a
＋1＝0(其中
a
>0)相
外切，且直线
l
：
mx
＋
y
－7＝0与
C
2
相切．
求：(1)圆
C
2
的标准方程；
(2)
m
的值．
[解析] (1)由题知
C
1
：(
x
－1)＋(
y
－2)＝18，
22
22222
C
2
：(
x
－
a
)
2
＋(
y
－3)
2
＝8.
因为
C
1
与
C
2
相外切，所以圆心距
d
＝
r
1
＋
r
2
，
即
a
－1
2
＋3－2
2
＝32＋22，
所以
a
＝8或－6(舍去)．
所以圆
C
2
的标准方程为(
x
－8)＋(
y
－3)＝8.
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(2)由(1)知圆心
C
2
(8,3)，因为
l
与
C
2
相切，
所以圆心
C
2
到直线
l
的距离
d
＝
r
，
即
|8
m
＋3－7|
＝22，
m
2
＋1
1
所以
m
＝1或.
7
一、选择题
1．半径为6的圆与
x
轴相切，且与圆
x
＋(
y
－3)＝1内切，则此圆的方程是( )
A．(
x
－4)＋(
y
－6)＝6
B．(
x
＋4)＋(
y
－6)＝6或(
x
－4)＋(
y
－6)＝6
C．(
x
－4)＋(
y
－6)＝36
D．(
x
＋4)＋(
y
－6)＝36或(
x
－4)＋(
y
－6)＝36
[答案] D
[解析] 由题意可设圆的方程为(
x
－
a
)＋(
y
－6)＝36，
由题意，得
a
＋9＝5，∴
a
＝16，∴
a
＝±4.
2．过圆
x
＋
y
－2
x
＋4
y
－4＝0内的点
M
(3,0)作一条直线
l
，使它被该圆截得的线段最
短，则直线
l
的方程是( )
A．
x
＋
y
－3＝0
C．
x
＋4
y
－3＝0
[答案] A
[解析] 圆
x
＋
y
－2
x
＋4
y
－4＝0的圆心
C
(1，－2)，当
CM
⊥
l
时，
l
截圆所得的弦最
－2－0
短，
k
CM
＝＝1，∴
k
l
＝－1，故所求直线
l
的方程为
y
－0＝－(
x
－3)，即
x
＋
y
－3＝0.
1－3
二、填空题
3．⊙
O
：
x
＋
y
＝1，⊙
C
：(
x
－4)＋
y
＝4，动圆
P
与⊙
O
和⊙
C
都外切，动圆圆心
P
的
轨迹方程为______________________．
[答案] 60
x
－4
y
－240
x
＋225＝0
[解析]⊙
P
与⊙
O
和⊙
C
都外切，设⊙
P
的圆心
P
(
x
，
y
)，半径为
R
，
则|
PO
|＝
x
＋
y
＝
R
＋1，
|
PC
|＝
∴
22
22
2222
22
22
22
22
2222
22
2222
22
22
B．
x
－
y
－3＝0
D．
x
－4
y
－3＝0
x
－4
2
2
＋
y
＝
R
＋2，
22
2
x
－4＋
y
－
x
＋
y
＝1，
22
2
移项、平方化简得：60
x
－4
y
－240
x
＋225＝0.
4．已知集合
A
＝{(
x
，
y
)|
y
＝49－
x
}，
B
＝{(
x
，
y
)|
y
＝
x
＋
m
}，且
A
∩
B
≠∅，则
m
的
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取值X围是________________．
[答案] －7≤
m
≤72
[解析] 由
A
∩
B
≠∅，即直线
y
＝
x
＋
m
与半圆
y
＝49－
x
有交点，如图所示．
2
如图可知，－7≤
m
≤72.
三、解答题
5．求经过两圆
x
＋
y
－2
x
－3＝0与
x
＋
y
－4
x
＋2
y
＋3＝0的交点，且圆心在直线2
x
－
2222
y
＝0上的圆的方程．
[解析] 解法一：由两圆方程联立求得交点
A
(1，－2)，
B
(3,0)，设圆心
C
(
a
，
b
)，则
12
由|
CA
|＝|
CB
|及
C
在直线2
x
－
y
＝0上，求出
a
＝，
b
＝.
33
∴所求圆的方程为3
x
＋3
y
－2
x
－4
y
－21＝0.
解法二：同上求得
A
(1，－2)、
B
(3,0)，则圆心在线段
AB
的中垂线
y
＝－
x
＋1上，又
22
12
在
y
＝2
x
上，得圆心坐标
，
.
33
∴所求圆的方程为3
x
＋3
y
－2
x
－4
y
－21＝0.
6．求⊙
C
1
：
x
＋
y
－2
y
＝0与⊙
C
2
：
x
＋
y
－23
x
－6＝0的公切线方程．
[解析]⊙
C
1
：
x
＋(
y
－1)＝1，圆心
C
1
(0,1)，半径
r
＝1，
⊙
C
2
：(
x
－3)＋
y
＝3，圆心
C
2
(3，0)，半径
R
＝3，
圆心距|
C
1
C
2
|＝2，∴|
C
1
C
2
|＝
R
－
r
，
故两圆内切，其公切线有且仅有一条过该两圆的公共点(切点)，
又由内切两圆的连心线过切点且垂直于两圆的公切线知，切点在直线
C
1
C
2
上，
∵
C
1
C
2
：
x
＋3
y
－3＝0，∴切线斜率
k
＝3.
|－1＋
b
|
设切线方程为
y
＝3
x
＋
b
，由圆心
C
1
(0,1)到切线距离
d
＝1，得＝1，∴
b
＝3
2
或－1.
|3＋
b
|
由
C
2
(3，0)到切线距离
d
′＝3，得＝3，
2
∴
b
＝3或－9，∴
b
＝3，
∴公切线方程为
y
＝3
x
＋3，即3
x
－
y
＋3＝0.
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222
222
2222
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7．已知圆
A
：
x
＋
y
＋2
x
＋2
y
－2＝0，若圆
B
平分圆
A
的周长，且圆
B
的圆心在直线
l
：
22
y
＝2
x
上，求满足上述条件的半径最小的圆
B
的方程．
[解析] 解法一：设圆
B
的半径为
r
，∵圆
B
的圆心在直线
l
：
y
＝2
x
上，∴圆
B
的圆
心可设为(
t,
2
t
)，则圆
B
的方程是(
x
－
t
)＋(
y
－2
t
)＝
r
，即
x
＋
y
－2
tx
－4
ty
＋5
t
－
r
＝
0. ①
∵圆
A
的方程
x
＋
y
＋2
x
＋2
y
－2＝0. ②
∴②－①，得两圆的公共弦方程(2＋2
t
)
x
＋(2＋4
t
)
y
－5
t
＋
r
－2＝0. ③
又∵圆
B
平分圆
A
的周长，∴圆
A
的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将
x
＝－1，
22
22
2222222
y
＝－1代入方程③，
3
3
2
2121
22
并整理得：
r
＝5
t
＋6
t
＋6＝5
t
＋
＋≥，所以
t
＝－时，
r
min
5
5
55
＝
21
.
5
3
2
6
2
21
此时，圆
B
的方程是
x
＋
＋
y
＋
＝.
5
5
5
解法二：如图，设圆
A
、圆
B
的圆心分别为
A
、
B
.则
A
(－1，－1)，
B
在直线
l
：
y
＝2
x
上，连接
AB
，过
A
作
MN
⊥
AB
，且
MN
交圆于
M
、
N
两点．∴
MN
为圆
A
的直径．
∵圆
B
平分圆
A
，∴只需圆
B
经过
M
、
N
两点．
∵圆
A
的半径是2，设圆
B
的半径为
r
，
∴
r
＝|
MB
|＝|
AB
|＋|
AM
|＝|
AB
|＋4.
欲求
r
的最小值，只需求|
AB
|的最小值．
∵
A
是定点，
B
是
l
上的动点，
∴当
AB
⊥
l
，即
MN
∥
l
时，|
AB
|最小．
6
3
于是，可求得
B
－，－
，
r
min
＝
5
5
21
，
5
222
3
2
6
2
21
故圆
B
的方程是
x
＋
＋
y
＋
＝.
5
5
5
6 / 6