2024年9月19日发(作者：剧元洲)
中学物理
Ｖ０１．３３Ｎｏ．１７
２０１５年９月
（沿运动方向建立戈轴）
垂直位移方向上的分力不做
功，位移方向上的分力做功，与位
移方向相同的力是动力与位移方
向相反的是阻力，由此可见力做
１２
ｈｌｌ
；■＼＼
矗
＾ｒ’
＼ｒ‘ｊ
夕／’
学过的物理上用来区别不同时采用的方法，最终想到用正负号
来表示正负功．
４
深挖教材的意义
教师在教学中要深入地钻研教材，体会编者的意图，对其
内容拥有自己的解读，更重要的是根据学生的实际情况，对主
题图、例题、练习题等内容进行调整和处理，从而形成非僵化
的、有特色的教学内容，创造性地实施教学．
活用教材是教学的永恒主题，无论是过去还是现在，研究
教材都是教好课的前提，是备课工作中的一个重要环节．作为
一名教师应深入体会教材编写的指导思想，全面了解教材编写
的内容，领悟教材的编写特点，发掘教材中蕴含的教学资源，选
择切实可行的教学内容，并针对课的类型、教学目标及教学对
象的特点，灵活地、创造性地使用教材，使教材更具情趣化、生
活化、活动化，才能使学生真实的参与到课堂教学中去，促进学
生主动学习和建构知识，使课堂精彩元限．
功只分为动力做功与阻力做功两
幽３
类，动力做功与阻力做功对物体
动能变化的影响正好相反，用最简单的方法区分动力做功与阻
力做功就是用正负号来区别，功正负值的物理意义就是，动力
做正功，阻力做负功．
教材中三幅图片意图是想打破传统教学模式，不再是单纯
的从数学的角度赋予正负功的意义，而是从物理的角度赋予正
负功的意义．教学环节中设汁了学生可参与的小游戏，学生亲
历探究过程，意义非常重要，通过观察并思考动力做功与阻力
做功的不同效果，进而探索寻找区别正负功的方式，通过以前
匀变速直线运动公式之“３２
１０”
郭金军
（泰州市姜堰区娄庄中学江苏泰州２２５５０６）
人教版高中物理必修一第二章《匀变速直线运动的研究》
这一章，教材中呈现的是基于实验的研究，结合生活实际，研究
匀变速直线运动的规律，在研究的过程中，得出匀变速直线运
动规律的相关公式及图象表述方式．其中，由于公式较多，且解
决同一问题可以用不同的公式但繁简度不同，从而造成学生学
习的困难，尤其会对初接触高中物理的学生带来畏难情绪．本
文对匀变速直线运动的众多公式进行优化归类，并指明优先方
案，以期达到能迅速选用最优的公式解决方案，化繁为简，简中
求道．匀变速直线运动的公式，可以归类为“３２１０”，即：三个基
本公式，两个纸带公式，一个平均速度，以及零点推论．具体阐
述如下：
１
”ｏ＝７２
ｋｍ／ｈ＝２０
ｍ／ｓ，血＝５ｍ／ｓ２，ｔ＝２
Ｓ．
根据公式：”，＝％＋ａｔ，可得２Ｓ时的速度
口２＝（２０＋５×２）ｍ／ｓ＝３０
ｍ／ｓ．
（２）根据ｚ＝ｒｏｔ＋÷础２，可得前２
ｓ内汽车行驶的距离
ｚ，＝（２０
Ｘ
２＋÷×５×２２）ｍ＝５０
ｍ．
（３）根据公式”；一”：＝２ａｘ，其中“。＝４０
ｍ／ｓ，代入得
ｘ＝１２０
ｍ．
三个基本公式
①速度公式＂，＝口【）＋ａｔ
１
点评本题示范了匀变速直线运动的基本公式的应用，
公式的选择因题制宜，式中的矢量含有方向．
２
两个纸带公式
一记录匀变速直线运动的纸带如图１．
②位移公式ｘ＝Ｕ０ｔ＋—＿１。￡２
二
③速度位移关系式Ｕ；一”：＝２ａｘ
１．１
幽Ｉ
说明：
公式的选择
其特征是等时位移．
常见应用有两个：
①求某点的瞬时速度根据题目的情景选择合适的公式，每个公式中均有四个物
理量，知道其中三个求另一个．
１．２公式的矢量性
公式中‰、”，、ｎ、石均为矢量，运算时要体现矢量的方向，通
常以”。的方向为正方向（若％为零，则常以。的方向为正方
向），其他矢量方向与之比较而赋以正负．
１．３
速度位移关系式的优势是不涉及时间
一辆汽车在笔直的公路上以７２ｋｍ／ｈ的速度行驶，
当司机发现紧急情况便踩油门加速，此后汽车以５ｍ／ｓ２的加速
度做匀加速运动．
示例
（１）开始加速后２ｓ时，汽车的速度为多大？
如：求点５的瞬时速度”，＝竺三竽（Ｔ为相邻两点时间
间隔）
此法可称之为“平等法”，是源于匀变速直线运动中，平均
速度等于中间时刻瞬时速度．
②求纸带的加速度
可用：（ｚ６＋石５＋戈４）一（ｚ３＋戈２＋戈１）＝。（３ｒ）２．
此法称之为“逐差法”，是源于匀变速直线运动中，相邻等
时位移增量为恒量（即血＝。ｒ）．
若不相邻，可写为≈。一ｘ。＝（ｒ／，一ｍ）ｏｒ．
示例某同学在研究小车的运动实验中，获得一条点迹
清楚的纸带，如图２所示，已知打点计时器每隔０．０２
Ｓ打一个
点，该同学选择了Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ六个计数点，测量数据如图所
示，单位是ｃｍ。（１）判断小车做什么运动？（２）计算瞬时速度
·３１·
（２）加速的前２ｓ内汽车行驶了多少距离？
（３）从开始加速到速度为４０ｍ／ｓ时，汽车行驶了多少
距离？
解析
（１）以％方向为正方向，由题意得
万方数据
２０１５年９月
”。、”。、”。、“。各多大？（３）计算小车的加速度多大？
幽２
解析（１）因为相邻的位移增量
△菇＝ＢＣ—ＡＢ＝ＣＤ—ＢＣ＝ＤＥ—ＣＤ＝ＥＦ—ＤＥ＝常数
（且为正数），所以小车做匀加速直线运动．
（２）由图可知，相邻计数点的时间间隔
由求瞬时速度的方法（平等法）可得
Ｔ＝２
Ｘ
０．０２Ｓ＝０．０４
Ｓ．
一一×．
２Ｔ
２
０
０４
…’…。’
肌
同理：
＂ｃ＝等＝０．４９５
ｒｎ／ｓ，
＂。：黑＝０．５７５
”Ｄ
２
１而２·
／／
Ｓ，
，
％＝等＝０．６５５
ｒｎ／ｓ．
（３）用逐差法求加速度
戈ｃＦ—ｘ＾ｃ＝ｏ（２Ｔ）２，
解得
ａ＝２．０
ｍ／ｓ２．
点评纸带是等时位移的代言，如频闪照相、等时滴水等
都属于纸带模型．纸带公式则为解决匀变速运动中等时位移的
相关问题提供了专业的解决方寨
应用
一个做匀加速直线运动的物体，在前４ｓ内经过的
位移为２４ｍ，在第二个４ｓ内经过的位移是６０ｍ．求这个物体运
动的加速度、初速度以及第５个４ｓ内的位移各是多少？
解析由题意知Ｔ＝４
Ｓ，ｘｌ＝２４
ｍ，石２＝６０
ｍ，
根据血＝ｎｒ，有茗２一戈ｌ＝。严，得ｎ＝２．２５
ｍ／ｓ２．
根据ｉ＝”。，有等＝”ｍ卿等＝％＋。×丢，
得
％＝１．５ｍ／ｓ，
根据ｚ。一ｚ。＝（ｎ—ｍ）。ｒ，有石５一ｚＩ＝４ａｒ，
得
毛＝１６８
ｍ．
点评本题的特征是等时位移，显然属纸带模型，因此两
个纸带公式（逐差法和平等法）自然成为优先考虑的最佳解决
方案．
３
一个平均速度
平均速度的定义式：ｉ＝等等器，
对于匀变速直线运动而言：戈＝％ｔ＋—＿１口产，
代入后
。。＋。．士￡：。ｔ／２
”。＋８‘－￡２
９
中问时刻速度中ｌ刚时亥ｕ逐发
＝
！！±！！！±型！一！！±竺
２２
初末速度平均
以上推导是基于匀变速直线运动的情景，因此该规律适用
的条件是匀变速直线运动．
示例一物体做匀加速直线运动，通过一段位移△戈，所用
的时间为ｔ。，紧接着通过下一段位移△ｚ所用的时间为ｔ：．则物
体运动的加速度为
．２血（ｔｌ—ｔ２）。舭（ｔ１一ｔ２）
ｔｌｔ２（ｔｌ＋ｔ２）ｔｔｔ２（ｔｌ＋ｔ２）
·３２·
万方数据
ｃ．渊ｔ
Ｖｏ］．３３
Ｎｏ．１７
中学物理
ｔ２
（
ｔｌ
一
ｔ２
）
。．等ｔｔｔ２等ｔ２
（ｔ１一）
解析物体做匀加速直线运动，利用某段时间的平均速
度等于中间时刻的瞬时速度，有：
△戈△艽
百～吖：ｉ训ｆ２／２
又
Ｕｔ２／２
ｕ。。＝。．（争＋争），
得
２血（ｔＩ一￡２）
。２赢ｔ
ｔ百ｔ—丽ｔ２
２（１＋
）
所以Ａ正确．
点评匀变速直线运动的平均速度，一个定义式两个推
导式，可以建立三个等式，基于这个原因，平均速度公式自然担
当起解决匀变速直线运动问题的主力公式，也是优先择用的
公式．
４
零点推论
初速度为零的匀加速直线运动有四个重要推论：
①物体在ｌ丁末、２Ｔ末、３Ｔ末、…的瞬时速度之比为：
”１：”２：码：…＝１：２：３：…
②物体在１Ｔ小２Ｔ内、３Ｔ内，…的位移之比：
５ｊ：石２：码：…＝１
２：２２：３２：…
③物体在第１个‰、第Ⅱ个％、第Ⅲ个ｒ内、…第ｎ个
‰的位移之比：
ｘｌ：。Ⅱ：算Ⅲ：…：石。＝１：３：５：···：（２ｎ一１）．
④物体通过连续相等的位移所用时间之比：
：（石一丽）．
说明：ｔｌ：ｔ２：ｔ３：…：ｔ。＝１：（以一１）：（√３一√２）：…
以上四个推论是基于初速度为零的匀加速直线运动推导
而来．根据逆向思维，末速度为零的匀减速直线运动逆过来看
可视为初速度为零的匀加速直线运动，因此，以上四个推论适
用于初速度为零的匀加速或末速度为零的匀减速直线运动．
示例
取一根长２ｍ左右的细线，５个铁
⑥５
垫圈和一个金属盘．在线的一端系上第一个
垫圈，隔１２ｃｍ再系一个，以后垫圈之间的距
泰。
离分别为３６
ｃｍ、６０ｃｍ、８４
ｃｍ，如图３所示，站
丫１
在椅子上，向上提起线的另一端，让线自由垂
由３
下，且第一个垫圈紧靠放在地面上的金属盘
内．松手后开始计时，若不计空气阻力，则第
⑧１金属盥
尚２
２、３、４、５各垫圈
图３
Ａ．落到盘上的声音时间问隔越来越大
Ｂ．落到盘上的声音时间间隔相等
ｃ．依次落到盘上的速率关系为１：挖：怕：２
Ｄ．依次落到盘上的时间关系为１：（√２—１）：（√３一√２）：
（２一万）
解析垫圈自由落体，即：做初速度为零的匀加速直线运
动．垫圈之间的距离分别为１２
ｃｍ、３６ｃｍ、６０ｃｍ、８４
ｅｍ，满足
１：３：５：７的关系，因此时间相隔相等，依次落到盘上的时间
关系为１：２：３：４，则Ａ、Ｄ错误，Ｂ正确；各个时刻末的速度之
比应为１：２：３：４，因此Ｃ错误．
点评匀变速直线运动的零点推论为零起点或零终点的
匀变速直线运动提供了最便捷的解决方案．
综上所述，匀变速直线运动的公式可以归结为“３２１０”，它
是匀变速直线运动公式的优化归类，同时也揭示了各自的优势
及擅长应用，从而为公式的选择提供了便捷且最优的解决
方案．
2024年9月19日发(作者：剧元洲)
中学物理
Ｖ０１．３３Ｎｏ．１７
２０１５年９月
（沿运动方向建立戈轴）
垂直位移方向上的分力不做
功，位移方向上的分力做功，与位
移方向相同的力是动力与位移方
向相反的是阻力，由此可见力做
１２
ｈｌｌ
；■＼＼
矗
＾ｒ’
＼ｒ‘ｊ
夕／’
学过的物理上用来区别不同时采用的方法，最终想到用正负号
来表示正负功．
４
深挖教材的意义
教师在教学中要深入地钻研教材，体会编者的意图，对其
内容拥有自己的解读，更重要的是根据学生的实际情况，对主
题图、例题、练习题等内容进行调整和处理，从而形成非僵化
的、有特色的教学内容，创造性地实施教学．
活用教材是教学的永恒主题，无论是过去还是现在，研究
教材都是教好课的前提，是备课工作中的一个重要环节．作为
一名教师应深入体会教材编写的指导思想，全面了解教材编写
的内容，领悟教材的编写特点，发掘教材中蕴含的教学资源，选
择切实可行的教学内容，并针对课的类型、教学目标及教学对
象的特点，灵活地、创造性地使用教材，使教材更具情趣化、生
活化、活动化，才能使学生真实的参与到课堂教学中去，促进学
生主动学习和建构知识，使课堂精彩元限．
功只分为动力做功与阻力做功两
幽３
类，动力做功与阻力做功对物体
动能变化的影响正好相反，用最简单的方法区分动力做功与阻
力做功就是用正负号来区别，功正负值的物理意义就是，动力
做正功，阻力做负功．
教材中三幅图片意图是想打破传统教学模式，不再是单纯
的从数学的角度赋予正负功的意义，而是从物理的角度赋予正
负功的意义．教学环节中设汁了学生可参与的小游戏，学生亲
历探究过程，意义非常重要，通过观察并思考动力做功与阻力
做功的不同效果，进而探索寻找区别正负功的方式，通过以前
匀变速直线运动公式之“３２
１０”
郭金军
（泰州市姜堰区娄庄中学江苏泰州２２５５０６）
人教版高中物理必修一第二章《匀变速直线运动的研究》
这一章，教材中呈现的是基于实验的研究，结合生活实际，研究
匀变速直线运动的规律，在研究的过程中，得出匀变速直线运
动规律的相关公式及图象表述方式．其中，由于公式较多，且解
决同一问题可以用不同的公式但繁简度不同，从而造成学生学
习的困难，尤其会对初接触高中物理的学生带来畏难情绪．本
文对匀变速直线运动的众多公式进行优化归类，并指明优先方
案，以期达到能迅速选用最优的公式解决方案，化繁为简，简中
求道．匀变速直线运动的公式，可以归类为“３２１０”，即：三个基
本公式，两个纸带公式，一个平均速度，以及零点推论．具体阐
述如下：
１
”ｏ＝７２
ｋｍ／ｈ＝２０
ｍ／ｓ，血＝５ｍ／ｓ２，ｔ＝２
Ｓ．
根据公式：”，＝％＋ａｔ，可得２Ｓ时的速度
口２＝（２０＋５×２）ｍ／ｓ＝３０
ｍ／ｓ．
（２）根据ｚ＝ｒｏｔ＋÷础２，可得前２
ｓ内汽车行驶的距离
ｚ，＝（２０
Ｘ
２＋÷×５×２２）ｍ＝５０
ｍ．
（３）根据公式”；一”：＝２ａｘ，其中“。＝４０
ｍ／ｓ，代入得
ｘ＝１２０
ｍ．
三个基本公式
①速度公式＂，＝口【）＋ａｔ
１
点评本题示范了匀变速直线运动的基本公式的应用，
公式的选择因题制宜，式中的矢量含有方向．
２
两个纸带公式
一记录匀变速直线运动的纸带如图１．
②位移公式ｘ＝Ｕ０ｔ＋—＿１。￡２
二
③速度位移关系式Ｕ；一”：＝２ａｘ
１．１
幽Ｉ
说明：
公式的选择
其特征是等时位移．
常见应用有两个：
①求某点的瞬时速度根据题目的情景选择合适的公式，每个公式中均有四个物
理量，知道其中三个求另一个．
１．２公式的矢量性
公式中‰、”，、ｎ、石均为矢量，运算时要体现矢量的方向，通
常以”。的方向为正方向（若％为零，则常以。的方向为正方
向），其他矢量方向与之比较而赋以正负．
１．３
速度位移关系式的优势是不涉及时间
一辆汽车在笔直的公路上以７２ｋｍ／ｈ的速度行驶，
当司机发现紧急情况便踩油门加速，此后汽车以５ｍ／ｓ２的加速
度做匀加速运动．
示例
（１）开始加速后２ｓ时，汽车的速度为多大？
如：求点５的瞬时速度”，＝竺三竽（Ｔ为相邻两点时间
间隔）
此法可称之为“平等法”，是源于匀变速直线运动中，平均
速度等于中间时刻瞬时速度．
②求纸带的加速度
可用：（ｚ６＋石５＋戈４）一（ｚ３＋戈２＋戈１）＝。（３ｒ）２．
此法称之为“逐差法”，是源于匀变速直线运动中，相邻等
时位移增量为恒量（即血＝。ｒ）．
若不相邻，可写为≈。一ｘ。＝（ｒ／，一ｍ）ｏｒ．
示例某同学在研究小车的运动实验中，获得一条点迹
清楚的纸带，如图２所示，已知打点计时器每隔０．０２
Ｓ打一个
点，该同学选择了Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ六个计数点，测量数据如图所
示，单位是ｃｍ。（１）判断小车做什么运动？（２）计算瞬时速度
·３１·
（２）加速的前２ｓ内汽车行驶了多少距离？
（３）从开始加速到速度为４０ｍ／ｓ时，汽车行驶了多少
距离？
解析
（１）以％方向为正方向，由题意得
万方数据
２０１５年９月
”。、”。、”。、“。各多大？（３）计算小车的加速度多大？
幽２
解析（１）因为相邻的位移增量
△菇＝ＢＣ—ＡＢ＝ＣＤ—ＢＣ＝ＤＥ—ＣＤ＝ＥＦ—ＤＥ＝常数
（且为正数），所以小车做匀加速直线运动．
（２）由图可知，相邻计数点的时间间隔
由求瞬时速度的方法（平等法）可得
Ｔ＝２
Ｘ
０．０２Ｓ＝０．０４
Ｓ．
一一×．
２Ｔ
２
０
０４
…’…。’
肌
同理：
＂ｃ＝等＝０．４９５
ｒｎ／ｓ，
＂。：黑＝０．５７５
”Ｄ
２
１而２·
／／
Ｓ，
，
％＝等＝０．６５５
ｒｎ／ｓ．
（３）用逐差法求加速度
戈ｃＦ—ｘ＾ｃ＝ｏ（２Ｔ）２，
解得
ａ＝２．０
ｍ／ｓ２．
点评纸带是等时位移的代言，如频闪照相、等时滴水等
都属于纸带模型．纸带公式则为解决匀变速运动中等时位移的
相关问题提供了专业的解决方寨
应用
一个做匀加速直线运动的物体，在前４ｓ内经过的
位移为２４ｍ，在第二个４ｓ内经过的位移是６０ｍ．求这个物体运
动的加速度、初速度以及第５个４ｓ内的位移各是多少？
解析由题意知Ｔ＝４
Ｓ，ｘｌ＝２４
ｍ，石２＝６０
ｍ，
根据血＝ｎｒ，有茗２一戈ｌ＝。严，得ｎ＝２．２５
ｍ／ｓ２．
根据ｉ＝”。，有等＝”ｍ卿等＝％＋。×丢，
得
％＝１．５ｍ／ｓ，
根据ｚ。一ｚ。＝（ｎ—ｍ）。ｒ，有石５一ｚＩ＝４ａｒ，
得
毛＝１６８
ｍ．
点评本题的特征是等时位移，显然属纸带模型，因此两
个纸带公式（逐差法和平等法）自然成为优先考虑的最佳解决
方案．
３
一个平均速度
平均速度的定义式：ｉ＝等等器，
对于匀变速直线运动而言：戈＝％ｔ＋—＿１口产，
代入后
。。＋。．士￡：。ｔ／２
”。＋８‘－￡２
９
中问时刻速度中ｌ刚时亥ｕ逐发
＝
！！±！！！±型！一！！±竺
２２
初末速度平均
以上推导是基于匀变速直线运动的情景，因此该规律适用
的条件是匀变速直线运动．
示例一物体做匀加速直线运动，通过一段位移△戈，所用
的时间为ｔ。，紧接着通过下一段位移△ｚ所用的时间为ｔ：．则物
体运动的加速度为
．２血（ｔｌ—ｔ２）。舭（ｔ１一ｔ２）
ｔｌｔ２（ｔｌ＋ｔ２）ｔｔｔ２（ｔｌ＋ｔ２）
·３２·
万方数据
ｃ．渊ｔ
Ｖｏ］．３３
Ｎｏ．１７
中学物理
ｔ２
（
ｔｌ
一
ｔ２
）
。．等ｔｔｔ２等ｔ２
（ｔ１一）
解析物体做匀加速直线运动，利用某段时间的平均速
度等于中间时刻的瞬时速度，有：
△戈△艽
百～吖：ｉ训ｆ２／２
又
Ｕｔ２／２
ｕ。。＝。．（争＋争），
得
２血（ｔＩ一￡２）
。２赢ｔ
ｔ百ｔ—丽ｔ２
２（１＋
）
所以Ａ正确．
点评匀变速直线运动的平均速度，一个定义式两个推
导式，可以建立三个等式，基于这个原因，平均速度公式自然担
当起解决匀变速直线运动问题的主力公式，也是优先择用的
公式．
４
零点推论
初速度为零的匀加速直线运动有四个重要推论：
①物体在ｌ丁末、２Ｔ末、３Ｔ末、…的瞬时速度之比为：
”１：”２：码：…＝１：２：３：…
②物体在１Ｔ小２Ｔ内、３Ｔ内，…的位移之比：
５ｊ：石２：码：…＝１
２：２２：３２：…
③物体在第１个‰、第Ⅱ个％、第Ⅲ个ｒ内、…第ｎ个
‰的位移之比：
ｘｌ：。Ⅱ：算Ⅲ：…：石。＝１：３：５：···：（２ｎ一１）．
④物体通过连续相等的位移所用时间之比：
：（石一丽）．
说明：ｔｌ：ｔ２：ｔ３：…：ｔ。＝１：（以一１）：（√３一√２）：…
以上四个推论是基于初速度为零的匀加速直线运动推导
而来．根据逆向思维，末速度为零的匀减速直线运动逆过来看
可视为初速度为零的匀加速直线运动，因此，以上四个推论适
用于初速度为零的匀加速或末速度为零的匀减速直线运动．
示例
取一根长２ｍ左右的细线，５个铁
⑥５
垫圈和一个金属盘．在线的一端系上第一个
垫圈，隔１２ｃｍ再系一个，以后垫圈之间的距
泰。
离分别为３６
ｃｍ、６０ｃｍ、８４
ｃｍ，如图３所示，站
丫１
在椅子上，向上提起线的另一端，让线自由垂
由３
下，且第一个垫圈紧靠放在地面上的金属盘
内．松手后开始计时，若不计空气阻力，则第
⑧１金属盥
尚２
２、３、４、５各垫圈
图３
Ａ．落到盘上的声音时间问隔越来越大
Ｂ．落到盘上的声音时间间隔相等
ｃ．依次落到盘上的速率关系为１：挖：怕：２
Ｄ．依次落到盘上的时间关系为１：（√２—１）：（√３一√２）：
（２一万）
解析垫圈自由落体，即：做初速度为零的匀加速直线运
动．垫圈之间的距离分别为１２
ｃｍ、３６ｃｍ、６０ｃｍ、８４
ｅｍ，满足
１：３：５：７的关系，因此时间相隔相等，依次落到盘上的时间
关系为１：２：３：４，则Ａ、Ｄ错误，Ｂ正确；各个时刻末的速度之
比应为１：２：３：４，因此Ｃ错误．
点评匀变速直线运动的零点推论为零起点或零终点的
匀变速直线运动提供了最便捷的解决方案．
综上所述，匀变速直线运动的公式可以归结为“３２１０”，它
是匀变速直线运动公式的优化归类，同时也揭示了各自的优势
及擅长应用，从而为公式的选择提供了便捷且最优的解决
方案．