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四元数表示旋转

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四元数表示旋转

1.我们首先认识四元数

1.1定义


这里我们可以看到这个其实就是一个虚数定义的结构
仔细看一下我们其实可以发现这三个虚数的任意两个相乘其实得到的都是另外一个,这就想两个向量相乘得到那个和这两个向量相互垂直的向量是很相似的,所以这个xyz其实是可以表达一个向量的。

1.2 运算

  • 1.加法运算,其实我们加法运算比较容易想到直接按照每一位相加就行,这个和正常的虚数运算是完全一致的
  • 2.乘法运算,其实这个东西也比较简单,就是每一位依次握手的问题,但是我们可以化简这个东西大致结果如下:

  • 当然上面的形式看起来就非常让人头大,所以就有了下面的形式:
  • 3 求逆

    这个东西其实我们是利用一个复数乘上他的共轭等于他的模长的方法得到的他的逆。只不过这里比较特别的是,我们这里四元数的定义当中就说了模长就是1,所以我们在计算的过程当中其实直接取一个共轭就完成任务了。

2.思考这个东西为什么和旋转联系起来

我们在表达一个旋转的过程中其实我们是可以用一个旋转轴和旋转多少度来确定一个旋转的。上面我们又说四元数就是一个向量加上一个标量所以恰好可以表示一个旋转。
那么我们直接让这个xyz的位置表示一个向量,w的位置表示一个角度行不行呢?还真不行因为非常不方便。所以我们大多采用下面的表达方法,看了下面的定义方式大家就能理解这里为什么直接使用很不方便了。

3.具体怎么表示一个旋转

当然我们在开始之前我们关键是得理解这个绕一个轴进行旋转到底是个什么东西?
这个u就是这个旋转轴seita就是这个旋转的角度

我们像这样定义的话:

就可以用下面的式子便捷的实现q这个四元数表达的旋转

另外我们其实通过这个旋转实现的式子我们其实很容易就能看出来:

  • 1.这里,我们在往回旋转的时候只要对这个四元数取一个逆就可以转回去。
  • 2.我们在也可以通过两个四元数的相乘得到一个新的四元数,而这个新的四元数就表达着这两个四元数共同作用的效果。不过这里我们注意我们旋转角度的问题是不能交换顺序的。而从上面的式子可以看出两个四元数相乘是先进行后面那个四元数的旋转,再进行前面四元数的旋转。
  • 3.我们可以便捷的实现插值,这里我们只需要:

四元数表示旋转

1.我们首先认识四元数

1.1定义


这里我们可以看到这个其实就是一个虚数定义的结构
仔细看一下我们其实可以发现这三个虚数的任意两个相乘其实得到的都是另外一个,这就想两个向量相乘得到那个和这两个向量相互垂直的向量是很相似的,所以这个xyz其实是可以表达一个向量的。

1.2 运算

  • 1.加法运算,其实我们加法运算比较容易想到直接按照每一位相加就行,这个和正常的虚数运算是完全一致的
  • 2.乘法运算,其实这个东西也比较简单,就是每一位依次握手的问题,但是我们可以化简这个东西大致结果如下:

  • 当然上面的形式看起来就非常让人头大,所以就有了下面的形式:
  • 3 求逆

    这个东西其实我们是利用一个复数乘上他的共轭等于他的模长的方法得到的他的逆。只不过这里比较特别的是,我们这里四元数的定义当中就说了模长就是1,所以我们在计算的过程当中其实直接取一个共轭就完成任务了。

2.思考这个东西为什么和旋转联系起来

我们在表达一个旋转的过程中其实我们是可以用一个旋转轴和旋转多少度来确定一个旋转的。上面我们又说四元数就是一个向量加上一个标量所以恰好可以表示一个旋转。
那么我们直接让这个xyz的位置表示一个向量,w的位置表示一个角度行不行呢?还真不行因为非常不方便。所以我们大多采用下面的表达方法,看了下面的定义方式大家就能理解这里为什么直接使用很不方便了。

3.具体怎么表示一个旋转

当然我们在开始之前我们关键是得理解这个绕一个轴进行旋转到底是个什么东西?
这个u就是这个旋转轴seita就是这个旋转的角度

我们像这样定义的话:

就可以用下面的式子便捷的实现q这个四元数表达的旋转

另外我们其实通过这个旋转实现的式子我们其实很容易就能看出来:

  • 1.这里,我们在往回旋转的时候只要对这个四元数取一个逆就可以转回去。
  • 2.我们在也可以通过两个四元数的相乘得到一个新的四元数,而这个新的四元数就表达着这两个四元数共同作用的效果。不过这里我们注意我们旋转角度的问题是不能交换顺序的。而从上面的式子可以看出两个四元数相乘是先进行后面那个四元数的旋转,再进行前面四元数的旋转。
  • 3.我们可以便捷的实现插值,这里我们只需要:

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