NOIP

【螺旋矩阵】
题目描述

本质上这题是一道纯粹的数学题，n阶矩阵，按蛇形螺旋矩阵方向顺时针填好1~n^2的所有数字后，然后求矩阵任意一个第i行第j列的位置的数字。

通过找规律，可以直接找出计算公式，在O(1)的时间内给出结果。
将矩阵由外到内，看做是一层一层包裹起来的形状，类似洋葱头一样。

首先观察每一层的边长的变化规律，以及每一层左上角起点位置的数字规律

然后对于给定的坐标(i, j)，首先判断出这个点在某第k层，
k=min(i, j, n-j+1, n-i+1)

然后计算其与所在层的左上角起点坐标（k,k）的距离，然后结合起点坐标（k,k）的数字，即可推算出其对于的数字了。

分两种情况讨论一下。
1、当该点在某第k层的上半角时。

如上图所示，此刻(i, j)满足的条件是i==k，或者j=n-k+1，这种情况下，(i,j)位置的数字就等于起点坐标（k,k）的数字f(k)加上(i,j)到(k,k)的距离，i-k+j-k，即从起点开始顺时针走了（i-k+j-k）步。

如果(i,j)在矩阵的下半角，此刻(i,j)满足的条件是j==k，或者i=n-k+1，此刻将起点转换一下，视右下角的点为起点，该点的坐标是（n-k+1, n-k+1），其数字是f(k)+2*（当前层的边长-1），即f(k)+2*(n-2*(k-1)-1)，这样的话(i,j)坐标的数字是：
新的起点的数字：f(k)+2*(n-2*(k-1)-1)，加上沿这个新起点顺时针向左向上游走到(i，j)走过的步数，abs(i-(n-k+1)) + abs(j-(n-k+1))。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{int n, i, j, start;cin >> n >> i >> j;int k = min(min(min(i, j), (n-i+1)), (n-j+1));//定位在第k层start = 4 * (k - 1) * (n - k + 1) + 1;//第k层的起点对应的数字if(i==n-k+1||j==k){//如果在下半部分//将右下角当做起点，其数字是左上角的数字加上2*（当前层的边长-1）start += 2 * (n - 2 * (k - 1) - 1);//将右下角当做起点，其坐标是（n-k+1, n-k+1）k = n-k+1;}cout << start + abs(i - k) + abs(j - k);return 0;
}

除了这样直接算出，也可以通过循环的方式来计算得出，同样一层一层地往里找这个点，时间复杂度o(n)

#include<iostream>using namespace std;
//dfs(n, i, j)表示当前n阶的螺旋举矩阵当中坐标(i, j)处的数字
int dfs(int n, int i, int j){if(i==1) //如果位于当前矩阵的上边框，则直接返回jreturn j;else if(j==n)//如果位于当前矩阵的右边框，则数字是n+i-1return n+i-1;else if(i==n)//如果位于当前矩阵的下边框，则数字是1+3(n-1)-(j-1)=3n-j-1return 3*n-j-1;else if(j==1)//如果位于当前举证的左边框，则数字是1+3(n-1)+n-2-(i-2)=4n-i-2return 4*n-i-2;else //否则继续往里面的层找，将问题递归转换为求n-2阶矩阵中坐标(i-1, j-1)处的数字，再加上外圈周长4*(n-1)即可return dfs(n-2, i-1, j-1) + 4*(n-1);
}
int main()
{int n, i, j, start;cin >> n >> i >> j;cout << dfs(n, i, j) << endl;return 0;
}

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【螺旋矩阵】
题目描述

本质上这题是一道纯粹的数学题，n阶矩阵，按蛇形螺旋矩阵方向顺时针填好1~n^2的所有数字后，然后求矩阵任意一个第i行第j列的位置的数字。

通过找规律，可以直接找出计算公式，在O(1)的时间内给出结果。
将矩阵由外到内，看做是一层一层包裹起来的形状，类似洋葱头一样。

首先观察每一层的边长的变化规律，以及每一层左上角起点位置的数字规律

然后对于给定的坐标(i, j)，首先判断出这个点在某第k层，
k=min(i, j, n-j+1, n-i+1)

然后计算其与所在层的左上角起点坐标（k,k）的距离，然后结合起点坐标（k,k）的数字，即可推算出其对于的数字了。

分两种情况讨论一下。
1、当该点在某第k层的上半角时。

如上图所示，此刻(i, j)满足的条件是i==k，或者j=n-k+1，这种情况下，(i,j)位置的数字就等于起点坐标（k,k）的数字f(k)加上(i,j)到(k,k)的距离，i-k+j-k，即从起点开始顺时针走了（i-k+j-k）步。

如果(i,j)在矩阵的下半角，此刻(i,j)满足的条件是j==k，或者i=n-k+1，此刻将起点转换一下，视右下角的点为起点，该点的坐标是（n-k+1, n-k+1），其数字是f(k)+2*（当前层的边长-1），即f(k)+2*(n-2*(k-1)-1)，这样的话(i,j)坐标的数字是：
新的起点的数字：f(k)+2*(n-2*(k-1)-1)，加上沿这个新起点顺时针向左向上游走到(i，j)走过的步数，abs(i-(n-k+1)) + abs(j-(n-k+1))。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{int n, i, j, start;cin >> n >> i >> j;int k = min(min(min(i, j), (n-i+1)), (n-j+1));//定位在第k层start = 4 * (k - 1) * (n - k + 1) + 1;//第k层的起点对应的数字if(i==n-k+1||j==k){//如果在下半部分//将右下角当做起点，其数字是左上角的数字加上2*（当前层的边长-1）start += 2 * (n - 2 * (k - 1) - 1);//将右下角当做起点，其坐标是（n-k+1, n-k+1）k = n-k+1;}cout << start + abs(i - k) + abs(j - k);return 0;
}

除了这样直接算出，也可以通过循环的方式来计算得出，同样一层一层地往里找这个点，时间复杂度o(n)

#include<iostream>using namespace std;
//dfs(n, i, j)表示当前n阶的螺旋举矩阵当中坐标(i, j)处的数字
int dfs(int n, int i, int j){if(i==1) //如果位于当前矩阵的上边框，则直接返回jreturn j;else if(j==n)//如果位于当前矩阵的右边框，则数字是n+i-1return n+i-1;else if(i==n)//如果位于当前矩阵的下边框，则数字是1+3(n-1)-(j-1)=3n-j-1return 3*n-j-1;else if(j==1)//如果位于当前举证的左边框，则数字是1+3(n-1)+n-2-(i-2)=4n-i-2return 4*n-i-2;else //否则继续往里面的层找，将问题递归转换为求n-2阶矩阵中坐标(i-1, j-1)处的数字，再加上外圈周长4*(n-1)即可return dfs(n-2, i-1, j-1) + 4*(n-1);
}
int main()
{int n, i, j, start;cin >> n >> i >> j;cout << dfs(n, i, j) << endl;return 0;
}